Если американку зовут Анной. она имеет русские корни?

На самом деле еврейское имя звучит как "Хана", а все остальные варианты это транскрипции через греческий, либо через латынь, с их особенностями передачи еврейских имён и названий, плюс адаптации к местным языкам. И их уже нельзя назвать еврейским именем, т. к. еврейскому звучанию они уже не соответствуют. Употребление одного из вариантов указывает не на этнические корни, а скорее на религиозные.

Энн Жакли́н Хэ́тэуэй (англ. Anne Jacqueline Hathaway; род. 12 ноября 1982, Нью-Йорк) — американская актриса и певица.
и никаких корней

Вообще-то Анна - это не русское имя. Изначально оно еврейское, но со временем распространилось по многим народам, включая русский.

анна совсем не русское имя и до принятия христианства на руси его не было

Скорее - славянские. и то не факт. Вон у Барака Обамы одну дочь зовут Наташа. Но дома они её зовут Саша - вообще мрак, ржачно, до них не доходит, что у русских это 2 разных имени. И они точно не русские...

Анна это самое распространенное имя в мире

Анна и ее формы — самое популярное в мире имя, мне кажется.
Я знаю индуску Аню, китаянку, мексиканок, бразильянок, американок, даму из Швеции, немок, ну и выходцев из разных стран бывшего СНГ.

А Достоевского, кстати, проходят на некоторых специальностях в универе рядом)

А́нна (от ивр. ‏חַנָּה‏‎ [Хан (н) а] «расположение, благосклонность, благоволение»; тж. др. -греч. Άννα) — женское русское личное имя еврейского происхождения.
Анна — библейское имя; встречается 13 раз в первой книге Самуила (см. Книга Самуила). Библейский мужской вариант имени — Ханан.
Классический словарь библейского древнееврейского языка под редакцией Брауна, Драйвера и Бригса переводит корень חן имени Анна как «favour», «grace» (благосклонность, благоволение); при этом эта благосклонность может означать как благосклонность со стороны Бога, так и благосклонность со стороны людей.
Производные: Аня (Ана), Анночка (Аннечка), Аннушка, Аннуша, Аннуся (Аннюся), Ануся (Анюся), Нуся (Нюса), Аннюня, Нюня, Анюра, Нюра, Нюрася, Нюраха, Нюраша, Анюша (Ануша), Нюша, Анюта, Нюта, Аннета, Нета, Ася.
В том же случае, если это имя переносится из английского языка, где оно также фигурирует как А (n)na(h), его принято писать и произносить по-русски как Анна; более обычная английская форма этого имени — англ. Ann(e) [Энн]. Такие же колебания представлены в немецком (нем. Anna [Анна], нем. Anne [Анне]). В романских языках: фр. Anne [Анн], исп. Ana [Ана], итал. Anna [Анна]. В грузинском — груз. ანა [Ана].
Также существует индийское мужское имя Анна (см. Хазаре, Анна).

По такой логике и Елизавета вторая из под Рязани родом

Напомню из библии. Когда судили Христа, первосвященник - Анна ( тогда это имя было и мужским у евреев).

смотрим "Анна Австрийская".

Нет конечно - Анна совсем не русское имя, а еврейское.

Русских имён не существует.

Не факт... бывают родители - любители экзотики... Лично знаю афроамериканку Наташу которая никаких русских предков никогда не имела и ни слова по русски не говорит...)

Это международное имя, так же как и Мария.

это еврейское имя

Не обязательно

Там любые имена, а вообще индейские имена считаются коренными

не факт это международное имя

И Аня из узбекистана.

Нет. Это следствие того, что они христиане. У них и Конастантины и Майклы (Michael Михаил) и Александры есть, как в России. Это изначально церковные имена

Не обязательно

Не обязательно, возможно мама этой американки была фанаткой Карениной, вот и удружила дочурке с именем

в америке много русских имен