Как уговаривать маму купить щенка в съёмную квартиру!?

Тут не маму надо уговаривать, а владельца квартиры.

Разумеется никак! Когда будет у тебя своё жильё, тогда и купишь.

Уговаривать надо не маму, а себя!
14 лет - возраст осознанной жизни, когда уже есть понятия о невозможности иметь то, что хочешь. Даже в собственную квартиру не всегда можно взять животное, а уж в чужое жильё - подавно: Вам сдали квартиру без наличия животных, а потому есть риск отказа от дальнейшего съёма. А уж с собакой будет невероятно трудно найти новых владельцев квартир, которые согласны на такой вариант. К тому же стоимость обязательно повысят....

Не выйдет, только с согласия хозяйки...
после вас будет пахнуть псиной, не всем понравится

Надо не о собаке думать, а о собственной квартире и набирать деньги на неё, а не тратить на собак. Если мама не согласна, ты её уже никак не уговоришь. В отличии от тебя она понимает что вам сейчас не до собаки. На собаку идут большие затраты, её кой чем не накормишь, ей мясо нужно.

Купить свою квартиру - и заводить туда хоть крокодила

А если вас с этой квартиры из-за собаки выгонят? И на другую с собакой не возьмут? Выкинешь собаку на улицу? Тогда какой смысл заводить вообще?! Нельзя заводить животных на сьемной квартире!

А выгуливать, кормить, лечить, возить к ветеринару, потом хоронить это всё будет делать мама?

Забудь об этом, потому что щенок разнесет, изгрызет и изорвет всю квартиру, а платить за это будет мама.

Вырастешь купишь квартиру и заведешь

в съемной квартире? не знаю... собака не кошка, Э будет лаять, скулить и т. д. а возможно будет гадить, квартира ведь чужая. так что вряд ли ваша мама разрешит покупать собаку.

К сожелению ни как если квартира съёмная если бы ваша было то может быть и согласилась.