Влиляет ли заземление на шумы при записи, в случае если микрофон имеет встроенную звуковую карту?

Плохое заземление, так же, как и плохие, не экранированные кабели, влияют на всём этапе маршрутизации сигнала.

Вы фон с шумами не путайте - это явления совершенно разные и борьба с ними тоже разная. Заземление и экранирование - это методы борьбы именно с фоном переменного тока от сети и наводками (сотовые телефоны и т. п.). Кабель должен быть экранирован и правильно заземлен - только у входа предусилителя (не должно быть "петель" из экрана и земли - это весьма эффективная рамочная антенна). Еще чрезвычайно помогает балансная схема - это когда микрофон не заземлен вообще а у предусилителя симметричный (отвязанный от земли) вход, заземлен же только экран - это широко используется в профессиональной аппаратуре, см. XLR разъем. Шумы имеют совершенно иную природу и от экранирования и заземления не зависят совершенно от слова совсем.

Обычно конденсаторные микрофоны со встроенной звуковой картой шумят не по этому, а из-за работы преобразователей, расположенных совсем рядом с капсюлем, а если капсюль электретный и дешёвый - то шумит и сам капсюль.
Есть качественные элементы, но микрофоны с ними получаются очень дорогими.
Шум от наводок - это низкочастотный гул 50 Гц. он обычно бывает на дешёвых динамических микрофонах для караоке с плохой экранировкой корпуса и кабеля. А белый шум или шум с пиком какой-то частоты - это уже сам микрофон и заземление не поможет. И ещё не стоит забывать про шумы помещения. Работу компьютерного вентиляторы вы можете не замечать. но на записи она слышнее. Или кто-то в подъезде дверью хлопнет. или машину под окнами заведут ...