Откуда Петр мог знать такое выражение: Сын Бога живого, когда назвал так Христа?

В иудаизме времен Христа эта фраза (так же, как и фраза "Сын Человека") была одним из титулов Мессии. Петр просто исповедовал свою веру в мессианство Иисуса на хорошо знакомом ему языке.

Евангелие от Матфея, глава 16
15 Он говорит им: а вы за кого почитаете Меня?
16 Симон же Петр, отвечая, сказал: Ты — Христос, Сын Бога Живаго.
17 Тогда Иисус сказал ему в ответ: блажен ты, Симон, сын Ионин, потому что не плоть и кровь открыли тебе это, но Отец Мой, Сущий на небесах;
18 и Я говорю тебе: ты — Петр, и на сем камне Я создам Церковь Мою, и врата ада не одолеют ее;
19 и дам тебе ключи Царства Небесного: и что свяжешь на земле, то будет связано на небесах, и что разрешишь на земле, то будет разрешено на небесах.
20 Тогда [Иисус] запретил ученикам Своим, чтобы никому не сказывали, что Он есть Иисус Христос.

Значит есть еще мертвый Бог

. Мы все Сыновья ( дочери ) Бога живого.
Или тебя сомнение гложет?

Христос ему пару фокусов показал?. Показал. Ну и он знал, что Пётр отрекётся по науке логистике.
Только Христу в то время его обучили.

НЗ - это уже исполнение пророчеств из ВЗ.
Понятие Сын Бога не только Иисуса касается.
Адам и ангелы- Сыны Бога.

Исход 4.22,23
И скажи фараону: так говорит Господь: Израиль есть сын Мой, первенец Мой;
Я говорю тебе: отпусти сына Моего, чтобы он совершил Мне служение; а если не отпустишь его, то вот, Я убью сына твоего, первенца твоего.

Пс 2гл
возвещу определение: Господь сказал Мне: Ты Сын Мой; Я ныне родил Тебя;
проси у Меня, и дам народы в наследие Тебе и пределы земли во владение Тебе;
Ты поразишь их жезлом железным; сокрушишь их, как сосуд горшечника».