Школы

Система уравнений. Для любителей алгебры.

У систем симметрических уравнений как правило есть красивое решение. Решить систему уравнений x + y + z = 1 1/x + 1/y + 1/z = -3 1/xy + 1/xz + 1/yz = 1 ЛО за первое красивое (субъективно) решение. © Е.Фёдоров
Валентина Фролова
Валентина Фролова
57 858
Преобразуем систему :

1) x + y + z = 1
2) (zy + xz +xy ) / (xyz) = -3
3) (x+y+z) / (xyz) = 1

1)y+z= 1- x
2)(zy + xz +xy ) = -3
3)xyz =1>>> YZ= 1 / X

(zy + xz +xy ) = -3

1 / x + x ( y+z) = -3 >>> 1 / x +x * (1- x ) = -3

1+ X^2 * (1 - X ) = - 3*X

X^3 - X^2 -3*X - 1 = 0 >>> X = - 1>>> Y + Z = 2 >>> Y Z = - 1

( 2 – Z ) *Z = -1 >>> Z^2 – 2Z -1 = 0 >>> D = 8 >>> Z1= 1- SGRT ( 2 ) >>> Z2= 1+ SGRT ( 2 )

Y1 = - 1 / Z1>>> Y1 = -1 / (1- SGRT ( 2 ) >>>Y1 = 1+ SGRT ( 2 )

Y2 = - 1 / Z2>>> Y2 = - 1 / (1+SGRT ( 2 ) >>>Y2 = - ( 1- SGRT ( 2 )

Ответ : ( -.1; 1+ SGRT( 2 ) ; 1- SGRT ( 2 ) ) и ( .-1 ; - ( 1- SGRT( 2 ) ; 1+ SGRT ( 2 ) )
Ксения .
Ксения .
7 721
Лучший ответ
Валентина Фролова Решений больше, чем два.
Ксения . Спасибо !
Согласен !
Если заняться перестановкой данных в решении корней ...
Я просто на это не обратил внимание .
Жаль ...
Да и решаю уравнение такого типа впервые .
Гульнара Амангосова 1) y+z+x=1
2) (zy + xz +xy ) = -3
3) xyz =1

По теореме Виета x, y,z - суть корни уравнения, выписанного и решённого в первом ответе
t^3+3t^2+t-1=0
Корни различны,
Ответ -
(t1;t2;t3)
(t1;t3;t2)
(t2;t1;t3)
(t2; t3;t1)
(t3;t1;t2)
(t3;t2;t1)
система сводится к уравнению t^3-t^2-3t-1=0
t^3+t^2-2t^2-2t-t-1=0
t^2(t+1)-2t(t+1)-(t+1)=0
(t+1)(t^2-2t-1)=0
t1=-1
t2=1+sqrt(2)
t3=1-sqrt(2)
Анастасия Баранова
Анастасия Баранова
8 590
Валентина Фролова Сколько решений?

Похожие вопросы