cos^2*x+cos^2*2x=cos^2*3x+cos^2*4x

cos^2(x)+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x)
cos^2(x) - cos^2(3x) = cos^2(4x) - cos^2(2x)
далее разность квадратов с обоих сторон
(cos(x) - cos(3x))*(cos(x) + cos(3x)) = (cos(4x) - cos(2x))*(cos(4x) + cos(2x))
далее применяем формулы
cosA-cosB=-2sin( (A+B)/2 )*sin( (A-B)/2 )
cosA+cosB=2cos( (A+B)/2 )*cos( (A-B)/2 )
получаем,
-2sin( (x+3x)/2 )*sin( (x-3x)/2 ) * 2cos( (x+3x)/2 )*cos( (x-3x)/2 ) =
= -2sin( (4x+2x)/2 )*sin( (4x-2x)/2 ) * 2cos( (4x+2x)/2 )*cos( (4x-2x)/2 )
упрощаем слегка, 2-йки сокращаем, имеяя ввиду, что sin(-x)=-sin(x), а cos(-x)=cos(x)
sin(2x)*sin(x)*cos(2x)*cos(x)=-sin(3x)*sin(x)*cos(3x)*cos(x)
сокращая на sin(x) и cos(x) имеем ввиду, что это также является решением уравнения, т. е. уравнение распадается на три уравнения
1) sin(x)=0, тут x=Пk, где k-целое число
2) cos(x)=0, тут x=П/2*k, где k-целое число
3) после сокращения на sinx и cosx
sin(2x)cos(2x)=-sin(3x)cos(3x)
здесь применяем формулу sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), получаем
1/2*sin(4x)=-1/2*sin(6x)
sin(4x)+sin(6x)=0
далее применяем формулу sinA+sinB=2sin( (A+B)/2 )*cos( (A-B)/2 ), получаем
2sin( (4x+6x)/2 )*cos( (4x-6x)/2 ) = 0
на 2 сокращаем, получаем
sin(5x)*cos(x) = 0
cos(x)=0 у нас уже имелось в пункте 2)
остается
sin(5x)=0 => 5x=Пk => x=П/5*k, k - целое
Объединяем решения:
1)x=Пk, где k-целое число
2)x=П/2*k, где k-целое число
3)x=П/5*k, k - целое
третье включает в себя первое, можно на тригонометрическом круге посмотреть, если так не понятно, поэтому остается
2)x=П/2*k, где k-целое число
3)x=П/5*k, k - целое число
Дальше мудохаться не стоит,
Ответ:
x=П/2*k, где k-целое число и x=П/5*k,где k - целое число

p.s. П-это пи=3.1415 если что (число Эйлера вроде как)

Ответ. (cos(x))^2+(cos(2*x))^2=(cos(3*x))^2+(cos(4*x))^2;(cos(4*x))^2-(cos(2*x))^2= (cos(x))^2-(cos(3*x))^2; (cos(4*x)-cos(2*x))*(cos(4*x)+cos(2*x))=(cos(x)-cos(3*x))*(cos(x)+cos(3*x));
-2*sin(3*x)*sin(x)*2*cos(3*x)*cos(x)=2*sin(2*x)*sin(x)*2*cos(2*x)*cos(x);
2*sin(2*x)*sin(x)*2*cos(2*x)*cos(x)+ 2*sin(3*x)*sin(x)*2*cos(3*x)*cos(x)=0;
sin(4*x)*sin(2*x)+sin(6*x)*sin(2*x)=0; sin(2*x)*(sin(4*x)+sin(6*x))=0; 2*sin(2*x)*sin(5*x)*cos(x)=0;
sin(2*x1)=0; sin(5*x2)=0; cos(x3)=0; Выбирайте, что ВАМ нравится!

У Вас некорректно записано уравнение: что означает cos^2*x.
Может, Вы имели ввиду (cosx)^2 ?