Человек был взят на работу с испытат. сроком на 2 месяца, испытательный срок не прошел, был оформлен трудовой договор. Д

Конечно, надо оформлять трудовую книжку. Её надо было оформить сразу же при приёме на работу, пусть даже с испытательным сроком (и трудовой договор тоже надо было оформить) , иначе это нарушение трудового законодательства.

3. Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, если работа у данного работодателя является для работника основной.
4. В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводе на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждении за успехи в работе.
8. Оформление трудовой книжки работнику, принятому на работу впервые, осуществляется работодателем в присутствии работника не позднее недельного срока со дня приема на работу.
9. В трудовую книжку при ее оформлении вносятся следующие сведения о работнике:
а) фамилия, имя, отчество, дата рождения (число, месяц, год) - на основании паспорта или иного документа, удостоверяющего личность;
б) образование, профессия, специальность - на основании документов об образовании, о квалификации или наличии специальных знаний (при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки) .
10. Все записи о выполняемой работе, переводе на другую постоянную работу, квалификации, увольнении, а также о награждении, произведенном работодателем, вносятся в трудовую книжку на основании соответствующего приказа (распоряжения) работодателя не позднее недельного срока, а при увольнении - в день увольнения и должны точно соответствовать тексту приказа (распоряжения) .
12. С каждой вносимой в трудовую книжку записью о выполняемой работе, переводе на другую постоянную работу и увольнении работодатель обязан ознакомить ее владельца под роспись в его личной карточке, в которой повторяется запись, внесенная в трудовую книжку.

если вы платили официально, то надо оформлять книжку, можно уволить по соглашению сторон.

да, конечно надо
ибо в последствии будут проблемы