Что делать, если переключатели скоростей не корректно работают?

Переключать можно и вращая педали, и не вращая. Соблюдать нужно три условия:
1. Проследить, чтобы сразу после переключения нагрузка на педали была слабой. Не давить сильно, пока цепь не перескочит.
2. Не переключать более чем на 1 шаг за прием.
3. Выбирать такие сочетания заднего и переднего переключателей, чтобы цепь испытывала как можно меньше боковых изгибов.

А еще лучше - поставить вместо всей этой байды многоскоростную планетарную втулку. Они сейчас входят в моду в Европе и Японии. Это как бы коробка передач, спрятанная внутри втулки. Переключатель остается только один (да и он может быть заменен автоматом) , Остается только одна звездочка впереди и одна сзади, удаляется натяжитель цепи. Кстати, в связи с этим есть втулки с ножными тормозами, для любителей "классики". Цепь можно использовать более прочную, т. к. боковых смещений ей испытывать не придется. Переключать можно в любой момент, даже во время напряженного рабочего хода. Можно как угодно перескакивать с любой передачи на любую, без паузы. Переключение - мгновенное и беззвучное. Механизм не боится грязи, пыли и воды, не требует обслуживания, ресурс имеет едва ли не больше, чем весь остальной велосипед. Единственный минус - колесо становится немного тяжелее. Но если учесть, сколько всякой фигни ты удаляешь с велосипеда при установке такой втулки, то вес велосипеда больше не становится.

хочешь, чтобы тебя починили заочно? Это к экстресенсам.

Вообще-то на любом велосипеде скорости лучше всего переключать не с неподвижными педалями, и не на полной тяге, а вращая педали чуть медленнее, чем надо для тяги. Тогда они переключаются тихо, без всякого скрежета и насилия над цепью и шестеренками.

Почему-то этому не учат нигде.

На горном велосипеде за 15 000 руб не может быть нормального переключателя скоростей.