Что такое интеграл?

Если правильно помню, то:

Представьте себе тень от предмета (человека). Из-за кривой формы очень сложно узнать её площадь.
Интеграл - это нарезание тени на тонкие лоскутки, площадь которых подсчитать уже намного проще.

Сумма множества слагаемых. Тонкость только в том, что слагаемых бесконечно много, а каждое слагаемое бесконечно малО.

у*dx

Если совсем сжато, то интеграл - это сумма бесконечно малых частей (согласно определению из толкового словаря Ефремовой).

Более развёрнуто:

Пусть есть функция, заданная на отрезке. Пусть этот отрезок каким-то способом разбит этот отрезок на частичные отрезки, и в каждом таком частичном отрезке взята промежуточная точка. Тогда каждый такой способ называется разбиением (размеченным), а наибольшая из всех длин частичных отрезков - диаметром разбиения.
Сумма произведений длин частичных отрезков на значения функции в соответствующей промежуточной точке называется интегральной суммой, значение которой ставится в соответствие данному разбиению.
Тогда интегралом (точнее, определённым интегралом Римана) от данной функции по данному отрезку называется предел интегральных сумм при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от разбиения.

Более просто и вместе с тем без потери смысла объяснить невозможно.

Интеграл, как площадь под графиком функции - это не определение, а геометрический смысл.

полезная штука на самом деле. если взять кусок проволоки и согнуть ее в виде интеграла - можно ею из-под дивана столько всего достать, вы не представляете

Это такой крючочек

Вроде крючочек такой был.