Что такое интеграл?

площадь под графиком - это геометрический смысл определенного интеграла на отрезке [a;b] при том условии, что f(x) >0 на [a;b].
неопределенный интеграл - это множество всех первообразных, так как добавление константы не влияет на производную первообразной.
определенный интеграл вычисляется как разность первообразных на верхнем и нижнем пределе.
в универе узнаешь, как определяется интеграл Римана.
Википедия:
Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс) . Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок) . Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы) , этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

если будешь находить интегралы более сложных функций, чем x^2, то производная понадобится в некоторых случаях (практически всегда) .
то, что интеграл от 0 до 3 от 2x и интеграл от 0 до 3 x^2 дают одно и то же число, еще ничего не значит.
совпало просто.
возьми x^4 и 4x^3 на отрезке [0;3]
интегралы дадут разные числа.
умножаешь на 4. просто тебе так захотелось.
возьми например интеграл cos(x) на [0;pi] .интеграл дает 0. и это не значит, что под графиком ничего нет.
просто то что ниже оси x считается отрицательной площадью.
интеграл же sin(x) на [0;pi] дает 2
если что то совпало, то это лишь случай.

если построить x^2 и, как ты говоришь, такую же перевернутую, то между ними вообще ничего нет, если дополнительно не сказать, что еще фигуру образует прямая x=3

О мой гот

Ну загнули!! ! Как на уроке в школе побывала. Ничего не поняла. Захотелось достать учебник и проверить: училка все точно рассказала или опять ошиблась.