Помогите с несложным интегралом?

S cos ln x dx = [u=cos ln x; dv=dx; du=-(sin ln x dx)/x; v=x] = x*cos ln x + S sin ln x dx = [u=sin ln x; dv=dx; du=(cos ln x dx)/x; v=x] =
= x*cos ln x + x*sin ln x - S cos ln x dx + 2C
получаем уравнение, в котором в правой и левой части одинаковые интегралы (интеграл из правой части
переносим в левую)

2*S cos ln x dx = x*(cos ln x + sin ln x) + 2C делим обе части уравнения на 2
получаем:

S cos ln x dx = x/2*(cos ln x + sin ln x) + C

а поподробней можно

Согласно правилу интегрирования по частям получаем: Интеграл (UdV)=UV-Интеграл (VdU)
Проведём замену t=Ln(x) => e^t=x
Продифференцировав t=Ln(x) получим dt=dx/x => dx=x*dt =>(т. к. e^t=x) dx=(e^t)dt
Тогда наш интеграл выглядит следующим образом:
Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]

Дальше используем интегрирование по частям для полученного интеграла:
Примем:
U=Cos(t) => dU=-Sin(t)dt;
dV=(e^t)dt => V=e^t, тогда получаем:
Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=Cos(t)*(e^t)-Интеграл [(e^t)*(-Sin(t))dt]=Cos(t)*(e^t)+Интеграл [(e^t)*Sin(t)dt]
Используем ещё одно интегрирование по частям для последнего интеграла "Интеграл [(e^t)*Sin(t)dt]":
U=Sin(t) => dU=Cos(t)dt;
dV=(e^t)dt => V=e^t, тогда получаем:
Интеграл [(e^t)*Sin(t)dt]=Sin(t)*(e^t)-Интеграл [Cos(t)*(e^t)dt]
Теперь самое гениальное в этой задаче) )
Сравним наш первоначальный интеграл (с заменой на t) и то чему он равен:
Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=Cos(t)*(e^t)+(Sin(t)*(e^t)-Интеграл [Cos(t)*(e^t)dt]+Const) => переносим интеграл из правой части в левую:
2*Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=Cos(t)*(e^t)+Sin(t)*(e^t)+Const => Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=(e^t)*(Cos(t)+Sin(t))/2+Const

Получили: Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=(e^t)*(Cos(t)+Sin(t))/2+Const
Теперь обратная подстановка: (Напомню: e^t=x; dt=dx/x ; t=Ln(x) )
Интеграл [Cos(t)*(e^t)*dt]=Интеграл [Cos(Ln(x))*(x)*dx/x]=Интеграл [Cos(Ln(x))dx]=(e^t)*(Cos(t)+Sin(t))/2+Const=(x)*(Cos(Ln(x))+Sin(Ln(x)))/2+Const
Итак: Интеграл [Cos(Ln(x))dx]=x*(Cos(Ln(x))+Sin(Ln(x)))/2+Const