Не могу решить, какой взять интеграл:найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = -4х+5;у = x ,у = 0

Выполните чертеж и увидите, что площадь разбивается на 2 части:
S=∫ (от -5/3 до -5/4) (4х+5-х) dx+∫ (от -5/4 до 0) (-xdx)=
=(3x²/2+5x)(от -5/3 до -5/4)-x²/2 ((от -5/4 до 0)= (75/32-25/4)-(25/6-25/3)-(0-25/32)=25/24 (ед²)
Простите я не увидела минус перед 4х. и решила для у=4х+5

Имеем три прямых.
Прямая у = -4х + 5 пересекается с у = 0 в т. (5/4, 0)
Прямая у = -4х + 5 пересекается с у = х в т. (1, 1)
Площадь треугольника
S = Int (x) dx от 0 до 1 + Int (-4х + 5) dx от 1 до 5/4 = x^2/2 | (1, 0) + (-2x^2 + 5x) | (5/4, 1) = 1/2 + (-25/8 + 25/4 + 2 - 5) =
= 4/8 - 25/8 + 50/8 - 3 = 29/8 - 3 = 3 + 5/8 - 3 = 5/8

Здесь два интеграла.
Пределы первого это точка пересечения у=х с осью Ох, и точка пересечения заданных прямых:
-4х+5=x => x=1.
Пределы второго это найденная точка пересечения х=1 и точка пересечения у=-4х+5 с осью Ох -4х+5=0 +> x=5/4. Таким образом, получим:
S=[от 0 до 1]∫xdx+[от 1 до 5/4]∫(-4x+5)dx=
=x²/2[от 0 до 1]-(2x²-5x) [от 1 до 5/4]=
=1/2-0-(2-5-25/8+25/4)=1/2+1/8=5/8 (ед. площади) .

определенно, определенный.
удобнее брать от функций вида х=х (у)