Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

В силу симметрии фигуры можем вычислить площадь ее верхней половины и результат умножить на 2.

r=0

Первым шагом нарисуем график данных функций в полярных координатах:

Заметим, что линия r=sqrt(2) является окружностью с центром в начале координат и радиусом sqrt(2). Также заметим, что линия r=2cos(a) является лепестком розы с 2 лепестками и ориентирована вдоль оси x.

Теперь найдем точки пересечения данных линий. Для этого приравняем уравнения:

sqrt(2) = 2cos(a)

cos(a) = sqrt(2)/2

a = pi/4 или a = 7pi/4

Таким образом, мы получили 2 точки пересечения линий: (sqrt(2)/2, pi/4) и (sqrt(2)/2, 7pi/4).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно разбить ее на две части: левую и правую. Левая часть фигуры ограничена линией r=sqrt(2) и дугой лепестка розы от точки (sqrt(2)/2, pi/4) до точки (0, pi). Правая часть фигуры ограничена линией r=sqrt(2) и дугой лепестка розы от точки (sqrt(2)/2, 7pi/4) до точки (0, 2pi).

Для вычисления площади каждой из частей воспользуемся формулой:

S = (1/2) * ∫[a,b] r^2 dθ

где a и b - начальный и конечный углы дуги, ограничивающей фигуру.

Для левой части фигуры:

S1 = (1/2) * ∫[pi/4, pi] sqrt(2)^2 dθ + (1/2) * ∫[0, sqrt(2)/2] r^2 dθ

S1 = (1/2) * sqrt(2) * (pi - pi/4) + (1/6) * (sqrt(2)/2)^3

S1 = (sqrt(2)/3) * (4pi - 1)

Для правой части фигуры:

S2 = (1/2) * ∫[7pi/4, 2pi] sqrt(2)^2 dθ + (1/2) * ∫[0, sqrt(2)/2] r^2 dθ

S2 = (1/2) * sqrt(2) * (2pi - 7pi/4) + (1/6) * (sqrt(2)/2)^3

S2 = (sqrt(2)/3) * (5pi - 4)

Итак, общая площадь фигуры:

S = S1 + S2 = (sqrt(2)/3) * (4pi - 1) + (sqrt(2)/3) * (5pi - 4)

S = (sqrt(2)/3) * (9pi - 5)

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями r=2cos(a), r=sqrt(2), r>=sqrt(2), равна (sqrt(2)/3) * (9pi - 5).