Найти площадь заштрихованной фигуры

для первого задания (второе - решается аналогично!):
площадь заштрих.фигуры = разнице интегралов от верхней и нижней ф-ции
в пределах интегрирования от (-1/2) до (3/2)

Интеграл от верхней ф-ции = (x^3)/3 - (x^2)/4 +(1/2)x,
Интеграл от нижней ф-ции = - (x^3)/3 + (x^2)*(3/4) +2x.

Разность интегралов равна: (2/3)*(x^3) - (x^2) - (3/2)x,
поэтому имеем площадь заштрих.фигуры в виде:
S = (2/3)*([-1/2]^3) - ([-1/2]^2) - (3/2)*[-1/2] - (2/3)*([3/2]^3) + ([3/2]^2) +
(3/2)*[3/2] =
= (2/3)*(-1/8) - (1/4) + (3/4) - (2/3)*(27/8) + (9/4) + (9/4) =
= -(2/24) - (1/4) + (3/4) - (54/24) + (9/4) + (9/4) =
(приводим все к одному знаменателю!)
= -(2/24) - (6/24) + (18/24) - (54/24) + (54/24) + (54/24) =
= [-2 - 6 + 18 - 54 + 54 + 54]/24 = [54 - 8 + 18]/24 = [54+10]/24= 64/24 = 8/3

ОТВЕТ: 8/3

А с интегральчиками у тебя полный нибумбумс, да? Это ж проще пареной репы. Берешь определенный интеграл верхней функции в известных границах, вычитаешь определенный интеграл нижней в тех же границах, пара пустяков!

Решение аналогичных задач разобрано, например, в книге
Данко П. Е. , Попов А. Г. , Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях) - М. : Высш. шк, 1999. ч. 1
Ссылку для скачивания можно найти, например, здесь .