Как с помощью интеграла найти объём тела, ограниченного эллиптическим параболоидом z=4x^2+9y^2 и плоскостью z=6?

Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.

По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:

Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)

Коль скоро проецирование проводится вдоль оси, то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет». В рассматриваемой задаче их три:

– уравнение задаёт координатную плоскость, которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт координатную плоскость, которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Плоскость z=6 пересекается с параболоидом, высекая кривую 6 = 4x^2+9y^2, т. е. эллипс x^2/(3/2) + y^2/(2/3) = 1 - с осями sqrt(3/2) по x и sqrt(2/3) по y.

Объем искомого тела равен объему "цилиндра" с высотой 6 и основанием в виде указанного эллипса (это легко) за вычетом объема тела под поверхностью z=4x^2+9y^2 (на плоскости OXY будет кривая y^2 = 1/9*(6 - 4*x^2) ).

Ну, короче, Forestman уже все сделал.

Это тройной интеграл, как раз для вычисления объема. В интернете примеров полно. Поищите, там ничего сложного.

О_______________о
так вот она какая
высшая мактематика

найти объем тела ограниченного параболоидом z=x2+y2+3 и плоскостями z=1 x=0 y=0 x+y=2

забей в поисковике - mathprofi.ru › Тройные интегралы