Доказать что прямая параллельна плоскости, а другая прямая лежит в этой плоскости

Вспомним параметры канонического уравнения прямой:
(x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c
Коэффициенты a,b,c - это координаты направляющего вектора прямой.
А точка с координатами (х1, y1, z1) лежит на данной прямой.
Используем эти параметры:
1) Чтобы прямая (x+1)/2=(y+1)/-1=(z-3)/3 была параллельна плоскости 2x+y-z=0 необходимо и достаточно, чтобы ее направляющий вектор был параллелен данной плоскости. Теперь рассмотрим общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + В = 0
Параметры A, B, C - это координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Таким образом, если направляющий вектор прямой будет перпендикулярен данному вектору, то он, очевидно, параллелен плоскости! Чтобы проверить перпендикулярность векторов вычислим их скалярное произведение. Если оно равно 0 - векторы перпендикулярны:
(2,-1,3)*(2,1,-1) = 2*2 +( -1*1) + 3*(-1) = 4 - 4 = 0
Векторы перпендикулярны, так что праямая параллельна плоскости.
2) Чтобы прямая (x-2)/2=y/-1=(z-4)/3 лежала в плоскости 2x+y-z=0 надо, чтобы выполнились 2 условия:
а) прямая параллельна плоскости
б) хотя бы одна точка прямой принадлежит плоскости.
Направляющий вектор нашей прямой: (2, -1, 3) параллелен данной плоскости - это мы доказали еще в п. 1.
Проверим условие б) . Мы точно знаем одну точку, принадлежащую данной прямой: (2, 0, 4). Подставляете ее координаты в уравнение прямой. Если левая часть уравнения обратится в 0 - то исследуемая точка принадлежит плоскости, а значит и вся прямая принадлежит плоскости.
Успехов!

Скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно нулю - прямая параллельна или лежит в плоскости.
Лежит в плоскости, если выполнено вышесказанное, и точка прямой принадлежит плоскости.