Применяя формулу Лейбница, найти y^25 для функции y=x^2sinx

Производная k-ого порядка от произведения двух функций определяется как сумма по правилу Лейбница (сумма произведений производных, содержащая биномиальные коэффициенты) :
➽ http://elisey-ka.ru/matan/exm/36.htm

У тебя перемножаются две функции: х² и sin(x). Надо найти производную 25-ого порядка от этого произведения. По формуле Лейбница получается, что в сумме будет аж 26 слагаемых -- УЖАС!

На самом деле ничего страшного. Производная первого порядка от х² равна 2х, второго -- 2, а третьего, четвертого, пятого -- НОЛЬ. Значит, в формуле Лебница, получится только ТРИ слагаемых, где в первом слагаемом функция х² будет умножаться на производную 25-ого порядка от sin(x), во втором -- 2х (т. е. производная от х²) умножается на производную 24-ого порядка от sin(x), в третьем -- число 2 (производная от 2х) умножается на производную 23-его порядка от sin(x).

Первый биномиальнай коэффициент для производной 25-ого порядка будет 25!/(25!0!)=1, второй -- 25!/(24!1!)=25, третий -- 25!/(23!2!)=25*24/2=300.

Теперь с производными от функции sinx разбираешься. Первая -- cos(x), вторая -- –sin(x), третья -- –сos(x), четвертая -- sin(x). Дальше цикл опять повторяется. Чистый sin(x) (без знака минус! ) получится в производной порядка 4, 8, 12, 16, 20, 24.  ⇒  Производная 25-ого порядка от sin(x) есть сos(x), 24-ого -- sin(x), 23-его -- –сos(x)

Ответ пишем для производной 25-ого порядка:
y(²⁵) = 1 * х² * cos(x) + 25 * 2x * sin(x) + 300 * 2 * (–сos(x)) =
   = х² * cos(x) + 50x sin(x) - 600 сos(x)

Ибо нехуй!