Число корней уравнения |x+1|(х−2)−а=0 при −2,25<а<0 равно: Как решать?

Для начала надо раскрыть модуль:
1. При х >= -1 x + 1 > 0, соответственно заменяем модуль на скобки и уравнение будет выглядеть так:
(x + 1)(x - 2) - a = 0
2. При х < -1 x + 1 < 0, соответственной выражение под модулем умножаем на -1. Уравнение будет выглядет так:
(1 - x)(x - 2) - a = 0
Раскрываем скобки в обоих уравнениях:
1. x^2 - x - 2 - a = 0 2. -x^2 +3x - 2 - a = 0
Теперь найдем дискриминант обоих уравнений:
1. 1 - 4*1*(-2 - а) = 1 + 4(2 + а) = 9 + 4а 2. 9 - 4*(-1)*(-2 - а) = 9 - (8 + 4а) = 1 - 4a
Теперь стоит вспомнить свойства квадратного уравнения.
Если дискриминант положительный, то уравнение имеет ровно 2 корня.
Если дискриминант отрицательный то уравнение имеет ровно 2 корня если мы учитываем мнимые корни. Если только действительные, то уравнение корней не имеет. Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет 1 двукратный корень.
Подставим в дискриминанты значение а.
-9 < 4a < 0
1. 0 < 9 + 4a 2. -10 < 1 - 4a < -1
Очевидно в первом случае дискриминант положительный, во втором отрицательный. Т. е. во втором случае корней нет, а в первом должно быть 2 корня.
Но это еще не все. Оба корня должны удовлетворять условию:
x >= -1
Иначе это уже будет второй случай, а во втором случае корней нет.
Найдем корни x1 = (1 + sqrt(9+ 4a))/2 > -1, т. к. значение sqrt(9 + 4a) > 0
x2 = (1 - sqrt(9 + 4a))/2 > -1, ведь 9 - 4а < 9, следовательно sqrt(9 - 4a) < 3. Таким образом:
x2 = (1 - sqrt(9 - 4a))/2 > -1
Так что действительных корней 2.