можно ли сказать, что комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики.

Да, можно

Комбинаторика действительно является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. Всякому анализу предшествует комбинаторное рассмотрение, всякая серьёзная теория имеет комбинаторный аналог.

Разрозненные комбинаторные задачи человечество решало с незапамятных времён. К концу XVI века накопились знания, относящиеся к:
- свойствам фигурных чисел,
- построению магических (и иных числовых) квадратов,
- свойствам биномиальных коэффициентов.

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве".

Комбинаторика располагает столь многообразными методами, решает столь разнообразные задачи, что трудно чётко обозначить её границы. Условно в комбинаторной теории можно выделить следующие три большие части:
- Теорию конфигураций, включающую блок - схемы, группы подстановок, теорию кодирования.
- Теорию перечисления, содержащую производящие функции, теоремы обращения и исчисление конечных разностей.
- Теорию порядка, включающую конечные упорядоченные множества и решётки, матрицы и теоремы существования, подобные теоремам Холла и Рамсея.

Я думаю, нет. Хотя, возможно, у меня неправильное понимание самого понятия "комбинаторика". Я считаю (так учили на физико-математическом факультете университета, который, кстати, я закончила с красным дипломом) , что комбинаторика - это один из разделов математики, изучающий различные множества с позиции отношений их элементов (размещений, сочетаний, перестановок, подстановок, инверсий и т. п.) . То что она древнейшая, это точно. Собственно сомнение заключается в том, что это именно ключевая ветвь математики.