На вершине наклонной плоскости

На вершине наклонной с углом наклона α = 30° к горизонту прикреплен блок массой 0,5 кг. Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз массой m1 = 1 кг движется по наклонной плоскости, а другой массой m2 опускается по вертикали вниз. Определить массу опускающегося груза, если он за t = 2 с опустился на высоту h = 0,8 м. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения в системе пренебречь. Массу блока считать равномерно распределённой по ободу.

1. M = 0,5 кг и R — масса и радиус блока в форме обруча. Его момент инерции J = M*R².

2. Ускорение движения находим из:
h = ½ at² → a = 2h/t² = 1,6/4 = 0,4 м/с.

3. Скорость движения масс в конце пути (после двух секунд): V = at = 0,4*2 = 0,8 м/с.

4. Кинетическая энергия системы:
Екин = ½ *[(m1+m2)*V² + J*ω²] = ½ *[(m1+m2)*V² + M*R²*(V/R)²] = ½ *[(m1+m2)*V² + M*V²] = ½ V²*[(m1+m2) + M].

5. Уменьшение потенциальной энергии: Епот = m2*g*h – ½ m1*g*h (масса m1 поднимается, но в 1/sin30° = 2 раза медленнее).

6. Из Екин = Епот следует:
½ V²*[(m1+m2) + M] = m2*g*h – ½ m1*g*h.

7. Подставим в него сначала все уже известные значения, отделяя m2:
0,5*0,16*m2 + 0,5*0,16*1,5 = m2*9,8*0,8 – 0,5*1*9,8*0,8.
m2 = (–0,5*1*9,8*0,8 – 0,5*0,16*1,5)/(0,5*0,16 – 9,8*0,8) = 0,52 кг.

Итак: m2 = 0,52 кг.