Мат. анализ, касательная плоскость к поверхности

Можно и попроще. Для нахождения уравнения касательной плоскости к поверхности z = 4x - xy + y^2 в точке (x0, y0, z0) необходимо найти градиент поверхности в этой точке и подставить его в уравнение касательной плоскости. Градиент поверхности в точке (x0, y0, z0) равен (4-y, 2y-x, -1).

Так как плоскость параллельна плоскости 4x + y + 2z + 9 = 0, то ее нормальный вектор равен (4,1,2). Так как касательная плоскость параллельна этой плоскости, то ее нормальный вектор также равен (4,1,2).

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности z = 4x - xy + y^2 в точке (x0, y0, z0), параллельной плоскости 4x + y + 2z + 9 = 0 имеет вид:

(4-y)(x-x0) + (2y-x)(y-y0) - (z-z0) = 0

Для того чтобы найти уравнение касательной плоскости, параллельной данной плоскости, необходимо использовать следующий подход:

Найдите градиент поверхности, который будет указывать направление наибольшего роста функции в данной точке. Градиент функции f(x,y,z) = 4x - xy + y^2 имеет вид:
grad(f) = (4-y, 2x - y, -1)

Так как касательная плоскость параллельна данной плоскости, ее нормальный вектор должен быть параллелен нормальному вектору плоскости 4x + y + 2z + 9 = 0. Нормальный вектор плоскости 4x + y + 2z + 9 = 0 имеет вид:
n = (4, 1, 2)

Теперь найдем точку на поверхности, через которую будет проходить касательная плоскость. Пусть точка на поверхности имеет координаты (x0, y0, z0). Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:
4x0 - x0*y0 + y0^2 = z0
4x0 + y0 + 2z0 + 9 = 0

Решая эту систему, мы можем найти значения x0, y0, z0. Например, можно решить второе уравнение относительно z0 и подставить это значение в первое уравнение, затем решить первое уравнение относительно x0 и y0.

Теперь мы можем записать уравнение касательной плоскости в общем виде:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
где A, B, C - компоненты нормального вектора касательной плоскости, найденного в пункте 2.

Для того, чтобы найти коэффициенты A, B, C, мы можем подставить вектор нормали и найденную точку на поверхности в уравнение касательной плоскости:

A(x0 - x) + B(y0 - y) + C(z0 - z) = 0

Подставляя значения x0, y0, z0 и используя градиент функции, получим:

(4-y0)(x - x0) + (2x0 - y0)(y - y0) - (z - z0) = 0

Таким образом, уравнение касательной плоскости будет иметь вид:

(4-y0)(x - x0) + (2x0 - y0)(y - y0) - (z - z0) = 0

где x0, y0, z0 - координаты точки