Подскажите как здесь они подставили в ур-е... (Мат. анализ)

неоднородные дифференциальные уравнения такого типа решаются так:
берется левая сторона уравнения, составляется характеристическое уравнение, приравнивается к нулю и находится общее решение однородного уравнения: если у'' , то это считается как r^2, y' - r. Коэффициенты оставляются те же. В данном случае характеристическое уравнение имеет вид: r^2 +3r+2=0. D = 1, r1=-2,r2 = -1. А потом ответ записывается в виде yo = C1e^(-x) +C2^(-2x). С1 e^-x и С2 e^-2 зависит от корней характеристического уравнения. Потом ищется частное решение левой части в виде у=Ах+В. находится первая и вторая производная и в правую часть вместо у'' ,y' , у подставляются значения производных и выражение для у. После преобразования приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях х, и находятся А и В. все это подставляется в выражение для у и находится общее решение.

зависит от корней характеристического многочлена
k^2+6k+5=0 k1=-5, k2=-1
Общее решение
C1 * e^(-5x) + c2 * e^(-x)
а частное в данном случае надо искать вида
A x^2 + Bx + D
Есть весьма длинное правило, которое позволяет подобрать вид частного решения

Частное решение Вашего уравнения ищем в виде у=ах^2+вх+с, тогда y'=2ах+в, y''=2а. Ваше диф. ур-е примет вид: 2а+6(2ах+в) +5(ах^2+вх+с) =25x^2-2. Раскывая скобки в левой части и группируя все с х^2, х и свободные члены, получим: 5ах^2+(12а+5в) х+(2а+6в+5с) =25x^2-2. Сопоставляя коэффициенты левой и правой части, получаем: 5а=25, 12а+5в=0, 2а+6в+5с=-2. Решая систему из этих трех ур-ий, получаем а=5, в=-12, с=12. Теперь найдем корни соответств. характеристического ур-я: к^2+6к+5=0. Его корни и будут показателями интересующих Вас степеней. Эти корни -1;-5. Общее решение имеет вид: у=С1е^(-x)+C2e^(-5x)+5x^2-12x+12