Мат. анализ, экстремумы фнп

1) Находится критическая точка.
2) Дальше смотрится, что будет, если отойти от критической точки. Если при удалении во всех направлениях функция растет, значит в точке минимум. Если при удалении во всех направлениях функция убывает, значит в точке максимум. Если в одном направлении так, в другом направлении сяк, значит в этой точке нет экстремума.
-
Часто при исследовании на экстремумы функции двух переменных для упрощения пункта (2) используют уже готовый рецепт, связанный с вычислением определителя матрицы вторых производных. Но он далеко не всегда помогает. Если он не помог, тогда переходите просто к пункту (2) в лоб, без готовых рецептов.

эта формула является частью второго производного теста для функций двух переменных. Если A = 0, то тест не работает и вы не можете определить характер критической точки только по этой формуле. Вам может потребоваться использовать другие методы, такие как построение графика или сравнение с ближайшими точками. Вот краткое изложение второго производного теста из первого результата поиска:

Второй производный тест для функций двух переменных:

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, которая дифференцируема на открытом множестве, содержащем точку (x0, y0).
Точка (x0, y0) называется критической точкой f, если fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 или fx(x0, y0) или fy(x0, y0) не существует.
Чтобы проверить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой, вычислите следующие величины:
A = fxx(x0, y0) B = fxy(x0, y0) C = fyy(x0, y0) D = AC - B^2

Затем:

Если D > 0 и A > 0, то f имеет локальный минимум в точке (x0, y0).
Если D > 0 и A < 0, то f имеет локальный максимум в точке (x0, y0).
Если D < 0, то f имеет седловую точку в точке (x0, y0).
Если D = 0, то тест не работает и никаких выводов сделать нельзя.