Задача Мат. Анализа. Поток векторного поля

Ответ

Решение:

Используя определение циркуляции, получаем:

C = ∮(a(M)·dr) = ∫(a(M)·T)ds

где T - касательный вектор к контуру, а ds - элемент длины дуги контура.

Контур - это треугольник, полученный пересечением плоскости (p) с координатными плоскостями. Поэтому, чтобы вычислить циркуляцию, надо разбить контур на три дуги - AB, BC и CA, и вычислить циркуляцию по каждой из дуг.

Для дуги AB, координаты начальной точки - A(0, 0, 6), а конечной - B(3, 0, 3). Тогда

ds = |AB| = √(3² + 0² + (-3)²) = 3√2
T = (B - A)/|AB| = (1, 0, -1)/√2
a(M)·T = (0 + 0 - 6)/√2 = -3√2

Таким образом, циркуляция по дуге AB равна ∫(-3√2)ds = -9√2.

Аналогично, для дуги BC, координаты начальной точки - B(3, 0, 3), а конечной - C(0, 2, 4). Тогда

ds = |BC| = √((-3)² + 2² + 1²) = √14
T = (C - B)/|BC| = (-3/√14, 2/√14, 1/√14)
a(M)·T = (3 + 0 - 6)/√14 = -3/√14

Циркуляция по дуге BC равна ∫(-3/√14)ds = -3√14/14.

Наконец, для дуги CA, координаты начальной точки - C(0, 2, 4), а конечной - A(0, 0, 6). Тогда

ds = |CA| = √(0² + 2² + (-2)²) = 2√2
T = (A - C)/|CA| = (0, -2/√8, 2/√8)
a(M)·T = (0 + 0 - 8/√8) = -√2

Циркуляция по дуге CA равна ∫(-√2)ds = -2√2.

Итак, общая циркуляция равна -9√2 - 3√14/14 - 2√2 = -11.51 ≈ -24 (округляем до двух знаков после запятой).