Помогите решить 1, 3, 4 диф уравнение

1)
(x^3 +x y^2) dx - (y^3 + y x^2) dy = 0
x^2 (x + y) dx - y^2 (x+ y) dy = 0
(x + y) (x^2 dx - y^2 dy) = 0
Или:
x + y = 0
y = - x
Подстановкой убеждаемся, что y = -x является решением.
Или:
x^2 dx - y^2 dy = 0
x^2 dx = y^2 dy
y^3 = x^3 + Const
y = (x^3 - a^3)^(1/3)
Ответ:
y = - x
y = (x^3 - a^4)^(1/3)
-----------------------------------------------
3)
x y' = 2 cos(x) y^(1/2) - 2 y
Ищем решение в виде:
y = z^n
тогда y' = n z^(n-1) z'
Подставляем в уравнение:
n x z^(n-1) z' = 2 cos(x) z^(n/2) - 2 z^n
n x z' + 2 z = 2 cos(x) z^(1 - n/2)
Выберем n так, чтобы 1 - n/2 = 0, т. е n = 2, тогда:
x z' + z = cos(x)
(x z)' = cos(x)
d (x z) = cos(x) dx
Интегрируем:
x z = C + sin(x)
z = [C + sin(x)] / x
Возвращаемся к y:
y = z^n = z^2
Ответ:
y = [C + sin(x)]^2 / x^2
-----------------------------------------------
dy/dx = (2x - y^2)^(-1)
Возведем в (-1) степень обе части равенства:
dx/dy = 2 x - y^2
Ищем x(y) в виде:
x = A(y) B(y)
(Перейдем к уравнению для B, функцию A определим сами из соображений удобства)
Тогда: x ' = A' B + A B'
A' B + A B' = 2 A B - y^2
(A' - 2 A) B + A B' = - y^2
Определим A так, чтобы: A' - 2 A = 0
тогда: dA / A = 2 dy
интегрируем: ln(A) = Const + 2 y
A = C exp(2 y)
Тогда:
A B' = - y^2
С exp(2 y) dB/dy = -y^2
dB = (- 1/С) y^2 exp(-2y) dy
интегрируем:
B = Const + (2 y^2 + 2 y + 1) exp(-2y) / (4C)
Выберем Const = D/C
B = [D + 0.25 (2 y^2 + 2 y + 1) exp(-2y) ] / C
Вернемся к x:
x = A B = C exp(2 y) [D + 0.25 (2 y^2 + 2 y + 1) exp(-2y) ] / C
Ответ:
x(y) = D exp( 2 y) + (2 y^2 + 2 y + 1) / 4
-----------------------------------------------