ВУЗы и колледжи
Решить Диф. уравнения университет
Решите пожалуйста эти 2 уровня, расписывая все подробно
1)
y'' + 4 y = sin(2x) - cos(2x)
Пусть y1 и y2 - частных решения этого уравнения, тогда:
y1'' + 4 y1 = sin(2x) - cos(2x)
y2'' + 4 y2 = sin(2x) = cos(2x)
Вычтем равенства:
y1'' - y2'' + 4 y1 - 4 y2 = 0
Или:
(y1 - y2)'' + 4 (y1 - y2) = 0
Получается, что частные решения могут отличаться только на решение однородного у уравнения:
y'' + 4 y = 0
Поэтому ищем общее решение однородного уравнения, и представляем его в виде:
y = exp(k x)
Подставляем его в таком виде в уравнение, получаем:
exp(kx)'' + 4 exp(kx) = 0
(k^2 + 4) exp(kx) = 0
k^2 + 4 = 0
k = (+/-) 2 i
Нашли сразу два независимых решения:
y = exp(2ix)
y = exp(-2ix)
Тогда их линейная комбинация - тоже решение:
y = C1 exp(2ix) + C2 exp(-2ix)
И оно общее для однородного уравнение, поскольку уже содержит две независимые константы. Используя формулу:
exp(ia) = cos(a) + i * sin(a)
можем записать уравнения покрсивее:
y = [C1 + C2] cos(2x) + i [C1 - C2] sin(2x)
Переобозначим:
C1 + C2 = A
i (C1 - C2) = B
Вместо одних независимых констант ввели другие. И общее решение тогда:
y = A cos(2x) + B sin(2x)
Теперь нужно найти любое частное решение уравнения. У нас правая часть в виде cos(2x) и sin(2x), как и решение однородного уравнения. Поэтому, если подставлять в уравнение функции такого же вида, левая часть уравнения всегда будет равна нулю. Поэтому попробуем подставить:
y = A x sin(2x) + B x cos(2x)
y' = A sin(2x) + 2 A x cos(2x) + B cos(2x) - 2 B x sin(2x)
y'' = 4 A cos(2x) - 4 A x sin(2x) - 4 B sin(2x) - 4 B x cos(2x)
Подставляем в уравнение:
[4 A cos(2x) - 4 A x sin(2x) - 4 B sin(2x) - 4 B x cos(2x)] + 4 [A x sin(2x) + B x cos(2x)] =
= sin(2x) - cos(2x)
Перегруппируем:
[1 + 4A] cos(2x) - [4 B + 1] sin(2x) = 0
Тогда можно просто взять A =-1/4, B =- 1/4
И частное решение примет вид:
y = -(x/4) (sin(2x) + cos(2x))
Тогда общее решение:
y = A cos(2x) + B sin(2x) - (x/4) (sin(2x) + cos(2x))
y'' + 4 y = sin(2x) - cos(2x)
Пусть y1 и y2 - частных решения этого уравнения, тогда:
y1'' + 4 y1 = sin(2x) - cos(2x)
y2'' + 4 y2 = sin(2x) = cos(2x)
Вычтем равенства:
y1'' - y2'' + 4 y1 - 4 y2 = 0
Или:
(y1 - y2)'' + 4 (y1 - y2) = 0
Получается, что частные решения могут отличаться только на решение однородного у уравнения:
y'' + 4 y = 0
Поэтому ищем общее решение однородного уравнения, и представляем его в виде:
y = exp(k x)
Подставляем его в таком виде в уравнение, получаем:
exp(kx)'' + 4 exp(kx) = 0
(k^2 + 4) exp(kx) = 0
k^2 + 4 = 0
k = (+/-) 2 i
Нашли сразу два независимых решения:
y = exp(2ix)
y = exp(-2ix)
Тогда их линейная комбинация - тоже решение:
y = C1 exp(2ix) + C2 exp(-2ix)
И оно общее для однородного уравнение, поскольку уже содержит две независимые константы. Используя формулу:
exp(ia) = cos(a) + i * sin(a)
можем записать уравнения покрсивее:
y = [C1 + C2] cos(2x) + i [C1 - C2] sin(2x)
Переобозначим:
C1 + C2 = A
i (C1 - C2) = B
Вместо одних независимых констант ввели другие. И общее решение тогда:
y = A cos(2x) + B sin(2x)
Теперь нужно найти любое частное решение уравнения. У нас правая часть в виде cos(2x) и sin(2x), как и решение однородного уравнения. Поэтому, если подставлять в уравнение функции такого же вида, левая часть уравнения всегда будет равна нулю. Поэтому попробуем подставить:
y = A x sin(2x) + B x cos(2x)
y' = A sin(2x) + 2 A x cos(2x) + B cos(2x) - 2 B x sin(2x)
y'' = 4 A cos(2x) - 4 A x sin(2x) - 4 B sin(2x) - 4 B x cos(2x)
Подставляем в уравнение:
[4 A cos(2x) - 4 A x sin(2x) - 4 B sin(2x) - 4 B x cos(2x)] + 4 [A x sin(2x) + B x cos(2x)] =
= sin(2x) - cos(2x)
Перегруппируем:
[1 + 4A] cos(2x) - [4 B + 1] sin(2x) = 0
Тогда можно просто взять A =-1/4, B =- 1/4
И частное решение примет вид:
y = -(x/4) (sin(2x) + cos(2x))
Тогда общее решение:
y = A cos(2x) + B sin(2x) - (x/4) (sin(2x) + cos(2x))
y'' + 4*y-sin(2*x)+cos(2*x)=0; y''-3*y'+2*y-(e^x)/(1+e^(-x))=0
Похожие вопросы
- Помогите решить диф уравнение! ))))
- Помогите решить диф уравнение и систему диф уравнений
- Помогите решить диф.уравнения! xy'+2y=x^2 y"-4y'+5y=0 y"+y'-2y=0
- Помогите решить 1, 3, 4 диф уравнение
- Математика! решите пожалуйста уравнение и равенства
- Решит дифференциальное уравнение
- Помогите решить дифференциальное уравнение
- Решить систему уравнений: а) матричным методом б) по правилу Крамера
- Помогите решить 2 уравнения
- помогите решить дифференциальные уравнения, завтра экзамен, я ни как не могу решить
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Ищем решение в виде:
y = exp(kx)
Подставляем в уравнение:
exp(kx)'' - 3 exp(kx)' + 2 exp(kx) = 0
(k^2 - 3 k + 2) exp(kx) = 0
k^3 - 3 k + 2 = 0
k = 1, k = 2
Получаем общее решение однородного уравнения:
y = A exp(x) + B exp(2x)
Частное решение будем искать в виде:
y = A(x) exp(x) + B(x) exp(2x)
тогда:
y' = A' exp(x) + A exp(x) + B' exp(2x) + 2 B exp(2x)
y'' = A'' exp(x) + 2 A' exp(x) + A exp(x) + B'' exp(2x) + 4 B' exp(2x) + 4 B exp(2x)
y'' - 3 y' + 2 y = F(x)
Обозначим:
y' = v
тогда:
v' = y'' = 3 y' - 2 y + F = 3 v - 2 y + F
вместо уравнения второго порядка получаем систему первого:
y' = v
v' = 3 v - 2 y + F
Мы нашли два решения однородного уравнения:
y1 = exp(x)
y2 = exp(2x)
Их производные:
v1 = exp(x)
v2 = 2 exp(2x)
Тогда общее решение однородной системы (без F):
y = C1 y1 + C2 y2
v = C1 v1 + C2 v2
[C1' y1 + C2' y2] + [C1 y1' + C2 y2'] = [C1 v1 + C2 v2]
[C1' v1 + C2' v2] + [C1 v1' + C2 v2'] = 3 [C1 v1 + C2 v2] - 2 [C1 y1 + C2 y2] + F
Т. к. y1, y2, v1, v2 - это решения однородной системы, почти все тут сокращается:
C1' y1 + C2' y2 = 0
C1' v1 + C2' v2 = F
Или:
C1' y1 + C2' y2 = 0
C1' y1 + C2' y2 = F
Или, если подставить y1, y2:
C1' exp(x) + C2' exp(2x) = 0
C1' exp(x) + 2 C2' exp(2x) = F
Выражаем C1', C2':
C1' = - F(x) exp(-x)
C2' = F(x) exp(-2x)
Подставляем ваше выражение для F:
C1' = - 1 / (1 + exp(-x))
C2' = exp(-x) / (1 + exp(-x))
Интегрируете, находите C1, C2. (не забывайте контстанты интегрирвания).
И тогда общее решения уравнения:
y = C1(x) exp(x) + C2(x) exp(2x)