Высшая математика. Неоднородные диффуры с постоянными коэффициентами.

Для однородного ДУ характеристическое уравнение
k^2 + 9 = 0 => k = +-3i - его корни и
yoo = C1*sin(3x) + C2*cos(3x) - общее решение однородного.
Частное решение неоднородного ищем в виде:
yчн = yчн1 + yчн2,
где yчн1 = A*x*sin(3x) + B*x*cos(3x),
yчн2 = C*e^(3x).

Для yчн1:
yчн1' = A*sin(3x) + B*cos(3x) + 3Ax*cos(3x) - 3Bx*sin(3x)
yчн1'' = 6A*cos(3x) - 6B*sin(3x) - 9Ax*sin(3x) - 9Bx*cos(3x) =
= (-6B - 9Ax)*sin(3x) + (6A - 9Bx)*cos(3x)

Подставляем yчн1 с производными в ДУ
y''+ 9y = -18sin(3x) и собираем всё при синусах и косинусах:
(-6B - 9Ax + 9Ax + 18)*sin(3x) + (6A - 9Bx + 9Bx)*cos(3x) = 0
=> (-6B + 18)*sin(3x) + 6A*cos(3x) = 0
-6B + 18 = 0 => B = 3.
6A = 0 => A = 0.

Для yчн2:
yчн2'' = 9C*e^(3x).
Подставляем yчн2 с производной в ДУ
y''+ 9y = -18*e^(3x)
=> 9C + 9C = -18 => C = -1.
=> yон = yoo+yчн = C1*sin(3x) + C2*cos(3x) + 3x*cos(3x) - e^(3x) - общее решение неоднородного.
y(0) = 1 => C2 - 1 = 1 => C2 = 2
y'(0) = 1 => 3C1 + 3 - 3 = 1 => C1 = 1/3
=> y = (1/3)*sin(3x) + 2*cos(3x) + 3x*cos(3x) - e^(3x) - искомое решение задачи Коши.

Ответ. y''+9*y+18*sin(x)+18*e^(3*x)=0;