Решить задачу по алгебре

Если он делится без остатка на (x - корень)².
Допустим, корень - r.

 x⁴ + px + q = (x² + bx + c) × (x - r)² 

Решаем для вещественных p, q, r, b, c.

 (x - r)² = x² - 2rx + r²

x⁴ + px + q = x⁴ + (b - 2r)x³ + (c - 2br + r²)x² + (br² - 2rc)x + cr²



p = br² - 2rc

q = cr²

b - 2r = 0

c - 2br + r² = 0 

Из последних двух уравнений

 b = 2r

c = 3r² 

Тогда коэффициенты исходного уравнения

 p = 2r³ - 6r³ = -4r³

q = 3r⁴



x⁴ - 4r³x + 3r⁴ = 0 

Проверяем подстановкой r

 r⁴ - 4r⁴ + 3r⁴ = 0 

Это корень.
Проверяем делимость на (x - r)

 x⁴ - rx³ + rx³ - r²x² + r²x² - r³x - 3r³x + 3r⁴ =

  = (x - r)(x³ + rx² + r²x - 3r³) 

Это первая кратность. Делим частное на (x - r)

 x³ - rx² + 2rx² - 2r²x + 3r²x - 3r³ =

  = (x - r)(x² + 2rx + 3r²) 

Это вторая кратность.
Решение верно.

Пример для r = 2

 x⁴ - 32x + 48 = 0 

Для r = 0

 x⁴ = 0 

(В последнем случае кратность - четвёртая)
А вот третья кратность и выше может быть достигнута только при

 p = q = r = 0 

(т.к. двучлен второго частного не делится на (x - r) при r, отличном от 0)