Математическая статистика и теория вероятностей

Задача 1. Для решения этой задачи необходимо знать вероятность солнечного дня в первый и второй день сентября. Поскольку погода в каждый день независима от погоды в предыдущие дни, вероятность солнечного дня в каждый из дней равна 14/30, где 30 - это количество дней в сентябре. Чтобы найти вероятность того, что погода будет одинаковой в первый и второй день, нужно перемножить вероятности солнечных дней в каждый из этих двух дней: (14/30) * (14/30) = 0.1633. Однако, также нужно учесть вероятность, что в каждый из этих дней будет пасмурно или дождь, которая составляет (16/30) * (16/30) = 0.2133. Таким образом, окончательная вероятность того, что погода будет одинаковой в первый и второй день, равна: (14/30) * (14/30) + (16/30) * (16/30) = 0.4851.


Задача 2. Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Пуассона, так как мы знаем вероятность события в единицу времени (0.01), и нам нужно найти вероятность количества событий в единицу времени.

Формула распределения Пуассона выглядит так:

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

где X - количество событий, λ - среднее количество событий за единицу времени, k - конкретное количество событий.

Теперь мы можем решить задачу:

1. Для того чтобы найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят ровно 3 абонента, мы должны использовать формулу:

P(X=3) = (λ^3 * e^(-λ)) / 3!

где λ = 1 (100 абонентов * 0.01 вероятность звонка)

P(X=3) = (1^3 * e^(-1)) / 3! = 0.0613

Ответ: вероятность того, что в течение одной минуты позвонят ровно 3 абонента, равна 0.0613.

2. Для того чтобы найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят менее трех абонентов, мы должны использовать формулу:

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = (λ^0 * e^(-λ)) / 0! = e^(-1) = 0.3679

P(X=1) = (λ^1 * e^(-λ)) / 1! = e^(-1) * 1 = 0.3679

P(X=2) = (λ^2 * e^(-λ)) / 2! = e^(-1) * 1 * 1/2 = 0.1839

P(X<3) = 0.3679 + 0.3679 + 0.1839 = 0.9197

Ответ: вероятность того, что в течение одной минуты позвонят менее трех абонентов, равна 0.9197.

3. Для того чтобы найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят более трех абонентов, мы можем воспользоваться противоположным событием:

P(X>3) = 1 - P(X<=3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3)

Мы уже нашли значения для P(X=0), P(X=1), P(X=2) и P(X=3), поэтому можем их подставить:

P(X>3) = 1 - 0.9197 - 0.0613 = 0.019

Ответ: вероятность того, что в течение одной минуты позвонят более трех абонентов, равна 0.019.

4. Для того чтобы найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонит хотя бы один абонент, мы можем использовать противоположное событие:

P(X>=1) = 1 - P(X=0)

Мы уже нашли значение для P(X=0), поэтому можем его подставить:

P(X>=1) = 1 - 0.3679 = 0.6321

Ответ: вероятность того, что в течение одной минуты позвонит хотя бы один абонент, равна 0.6321.


Задача 3. Доля грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, составляет 3/2, то есть 3 из 5 машин - грузовые, а 2 из 5 - легковые. Вероятность заправки грузовой машины равна 0.1, а легковой - 0.2.
Пусть А - грузовая машина, В - машина заправляется. Тогда вероятность того, что машина - грузовая, при условии, что она заправляется, можно вычислить с помощью формулы Байеса:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B),

где P(B|A) - вероятность того, что машина будет заправляться, при условии, что она грузовая, P(A) - вероятность того, что машина грузовая, а P(B) - вероятность того, что машина будет заправляться.

P(A) = 3/5, P(B|A) = 0.1, P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|не A)*P(не A) = 0.1*3/5+0.2*2/5 = 0.12
Таким образом,

P(A|B) = 0.1*3/5 / 0.12 = 0.4286

Итак, вероятность того, что машина грузовая, при условии, что она заправляется, равна 0.4286.