Высшая математика, лимиты пределы, не могу понять как решить

JND.

да учитесь уже использоват искусственный интеллект. уже не надо учиться никому - всё за вас решат, сложно ведь найти производную арксинуса, зачем мозги себе выворачивать этим дерьмом?

Для вычисления предела функции lim(x→0) (arcsin(4x²) / 2x), воспользуемся правилом Лопиталя. Правило Лопиталя применяется, когда предел функции имеет форму 0/0 или ∞/∞. В данном случае, когда x стремится к 0, функция имеет форму 0/0.

Правило Лопиталя гласит, что если lim(x→a) (f(x)/g(x)) существует и имеет вид 0/0 или ∞/∞, то предел этой функции равен lim(x→a) (f'(x)/g'(x)), где f'(x) и g'(x) - производные функций f(x) и g(x) соответственно.

Найдем производные числителя и знаменателя функции:

Функция f(x) = arcsin(4x²). Её производная по x будет:
f'(x) = d(arcsin(4x²))/dx = (1/√(1 - (4x²)²)) * d(4x²)/dx = (1/√(1 - 16x^4)) * 8x.

Функция g(x) = 2x. Её производная по x будет:
g'(x) = d(2x)/dx = 2.

Теперь применим правило Лопиталя:

lim(x→0) (arcsin(4x²) / 2x) = lim(x→0) (f'(x) / g'(x)) = lim(x→0) ((1/√(1 - 16x^4)) * 8x / 2).

Упростим функцию:

lim(x→0) (4x / √(1 - 16x^4)).

Теперь, когда x стремится к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0. Мы можем применить правило Лопиталя ещё раз:

Числитель: d(4x)/dx = 4.
Знаменатель: d(√(1 - 16x^4))/dx = (-1/2) * (1 - 16x^4)^(-1/2) * (-64x^3) = 32x^3 / √(1 - 16x^4).
Теперь снова применим правило Лопиталя:

lim(x→0) (4x / √(1 - 16x^4)) = lim(x→0) (4 / (32x^3 / √(1 - 16x^4))) = lim(x→0) (4√(1 - 16x^4) / 32x^3).

В данном случае, правило Лопиталя больше не поможет нам найти предел, потому что числитель больше не стремится к нулю, когда x стремится к нулю.

Вместо этого, заметим, что (4x^2) стремится к 0, когда x стремится к 0. Таким образом, мы можем использовать эквивалентность малых углов между sin(x) и x при x→0:

sin(x) ≈ x (при x→0).

Таким образом, arcsin(4x^2) ≈ 4x^2 при x→0. Заменим arcsin(4x^2) на 4x^2 и найдем предел:

lim(x→0) (arcsin(4x^2) / 2x) ≈ lim(x→0) (4x^2 / 2x).

Упростим выражение:

lim(x→0) (2x).

Теперь видно, что предел равен 0 при x→0:

lim(x→0) (arcsin(4x^2) / 2x) ≈ 0.

Его можно свести до первого замечательного предела arcsin(x)/x = 1.
Ну и очевидно, что это подсказка. Решить его всё же надо.