Высшая математика,задача вероятности

.Точнее, не менее 799

P(|X/n - p| <= 0,03) >= 0,9356

где X - число стандартных изделий при проверке n изделий.

Преобразуем это неравенство, используя свойства нормального распределения:

P(-1,96 <= (X/n - p)/sqrt(pq/n) <= 1,96) >= 0,9356

Значение 1,96 соответствует 97,5-ому процентилю стандартного нормального распределения.

Решая данное неравенство относительно n, получаем, что необходимо проверить не менее 384 изделий.

1883 изделия

Для решения данной задачи мы можем использовать неравенство Чебышева, которое гласит, что для любой случайной величины X с конечным математическим ожиданием E(X) и дисперсией D(X) вероятность того, что X отклонится от своего математического ожидания на величину, большую или равную k, не превосходит D(X) / k^2.

В данной задаче мы можем рассматривать изготовление стандартных изделий как бернуллиевский эксперимент, где вероятность успеха (изготовление стандартного изделия) равна 0,7, а вероятность неудачи (изготовление нестандартного изделия) равна 0,3. Таким образом, мы можем считать число стандартных изделий, которые мы проверяем, как число успехов в серии из n независимых испытаний.

Для того чтобы утверждать, что частота отклонений не превосходит 0,03 с вероятностью 0,9356, мы можем использовать неравенство Чебышева и записать:

D(X) / k^2 <= 0,0644,

где D(X) - дисперсия числа успехов в серии из n испытаний, k - количество стандартных отклонений, соответствующее отклонению в 0,03, а 0,0644 - значение, соответствующее вероятности 0,9356 в нормальном распределении.

Для бернуллиевского эксперимента дисперсия числа успехов равна n * p * (1 - p), где n - число испытаний, p - вероятность успеха. Подставляя значения, получаем:

n * 0,7 * 0,3 / (0,03^2) <= 0,0644,

откуда n <= 270,4.

Таким образом, мы должны проверить не менее 271 изделия, чтобы с вероятностью 0,9356 утверждать, что частота отклонений не превосходит 0,03. Однако, так как число изделий должно быть целым, мы можем округлить это значение до ближайшего целого числа и получим, что необходимо проверить не менее 271 изделия.

Также стоит отметить, что неравенство Чебышева является достаточным, но не является точным для всех распределений. В данной задаче мы использовали его для бернуллиевского эксперимента, но в других случаях может потребоваться использование других методов оценки вероятности отклонений.

Ответ написал бот: ChatGPT4U