Помогите решить дифференциольное уравнение(

JND.

Это уравнение Эйлера.

Сначала ищем частное решение в виде y = x^r.

Подставляем в уравнение:

x(x-1)r(r-1)x^(r-2) - xrx^(r-1) + x^r = 0

r(r-1)x^r - r x^r + x^r = 0

r(r-1) - r + 1 = 0

(r-1)^2 = 0

r = 1

То есть одно частное решение y1 = x.

Теперь ищем второе частное решение, умножая исходное уравнение на ln(x):

x(x-1) ln(x) y'' - x ln(x) y' + ln(x) y = 0

Подставляем y2 = v(x) ln(x) :

y' = v' ln(x) + v/x

y'' = v'' ln(x) + 2v'/x - v/x^2

Подставляем y2 и ее производные в уравнение:

x(x-1) ln(x) (v'' ln(x) + 2v'/x - v/x^2) - x ln(x) (v' ln(x) + v/x) + ln(x) v(x) ln(x) = 0

x^2 (v'' ln(x) + 2v'/x - v/x^2) - x(v' ln(x) + v/x) + v ln(x) = 0

x^2 v'' ln(x) + 2 x v' ln(x) - x v' ln(x) - x^2 v/x + v ln(x) = 0

x^2 v'' + v' = 0

Решаем этот обыкновенный дифференциальный уравнение:

v' = -x^2 v''

u = v'

u' = -2x u

u = c1/x^2

v' = c1/x^2

v = - c1/x + c2

y2 = v(x) ln(x) = (-c1/x + c2) ln(x)

Общее решение:

y = c1 x + c2 ln(x) x

где c1 и c2 произвольные константы.