Математический пример, производная f(x)

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке ее нужно найти производную функции и подставить значение абсциссы точки, в которой ищется касательная.

Найдем производную функции:

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 f'(x) = 3x^2 - 4x

Теперь найдем значение производной в точке x = 2:

f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 8

Значение f'(2) - это угловой коэффициент касательной.

Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой в общем виде:

y - y₁ = k(x - x₁)

где y₁ и x₁ - координаты точки, в которой ищется касательная, k - угловой коэффициент.

Значение y₁ найдем, подставив x₁ = 2 в исходное уравнение функции:

f(2) = 2^3 - 2*2^2 + 1 = 1

Теперь можем записать уравнение касательной:

y - 1 = 8(x - 2)

y - 1 = 8x - 16

y = 8x - 15

Ответ: уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 в точке с абсциссой 2 равно y = 8x - 15.

Производная:
y' = (x^3-2*x^2+1)' = 3*x^2-4*x
Подставим сюда значение x=2:
3*2^2-4*2 = 4
Касательная - это прямая. Уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Здесь k имеет значение производной функции в точке касания, т.е. в данном случае k=4.
Значение заданной функции в точке касания:
y(2) = 2^3-2*2^2+1 = 1
Так как точка касания принадлежит и графику функции, и касательной к нему, то подставляем найденное значение в уравнение для касательной:
1 = 4*x+b
Отсюда находим b:
b = 1-4*2 = -7
Уравнение касательной:
y = 4x-7