Помогите проинтегрировать уравнение

1) Разделяем переменные:
(x + 3) dx = (5 - y) dy
2) Интегрируем обе части:
∫ (х+3) dx = ∫ (5-y) dy
x²/2 + 3x + C = 5y - y²/2
3) Получаем общий интеграл в виде однопараметрического семейства неявных функций:
y² + x² + 6x - 10y = C
(x+3)² + (y-5)² = r² (r>0)
Это семейство задаёт окружности радиуса r>0 с центром в точке (-3;5). Ещё можно выразить у через х в явном виде двумя ветвями полуокружностей - верхняя ветвь окажется вогнутой функцией
y(x) = 5 + ✓(r² - (x+3)²),
а нижняя - выпуклой
y(x) = 5 - ✓(r² - (x+3)²).

Чтобы проинтегрировать уравнение (x+3)dx + (y-5)dy = 0, сначала нужно привести его к виду, который можно проинтегрировать по отдельности относительно x и y.

(x+3)dx + (y-5)dy = 0
x dx + 3dx + ydy - 5dy = 0
xdx + 3dx + ydy - 5dy = 0
(xdx + 3dx) + (ydy - 5dy) = 0
xdx + 3dx + (y-5)dy = 0

Теперь проинтегрируем это уравнение относительно x и y.

∫(xdx + 3dx) + ∫(y-5)dy = 0

∫xdx + ∫3dx + ∫(y-5)dy = C

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:
∫xdx = (1/2)x^2 + с1, где с1 - постоянная интегрирования.
∫3dx = 3x + с2, где с2 - постоянная интегрирования.
∫(y-5)dy = (1/2)y^2 - 5y + с3, где с3 - постоянная интегрирования.

Теперь соединим все вместе:
(1/2)x^2 + с1 + 3x + с2 + (1/2)y^2 - 5y + с3 = C

где C - константа интегрирования. Это и есть итоговое решение уравнения.