Как в интернете узнать, что я государству ничего не должен в виде неоплаченных штрафов и долгов? Чтобы не было проблем

Проблемы возникнут только в том случае, если вы:
а) кому-то что-то задолжали и этот должок выбивают с вас через суд;
б) суд постановил, что вы в самом деле задолжали, и ваш должок передают к выбиванию службе судебных приставов;
в) служба судебных приставов открыла на вас исполнительное производство дела.
Только тогда вы попадаете в чёрные списки пограничников. Теоретически, вы об этом должны знать, т. к по законодательству РФ суд не можешь вас обвинить без вашего осведомления. Но на практике так бывает. Поэтому, если вы подозреваете о подобных проблемах, перед поездкой съездийте к судебным приставам и поинтересуйтесь собой. Либо сходите на их сайт, там есть база данных по должникам:
http://www.fssprus.ru/
Если вы находитесь в этой базе данных, немедленно ликвидируйте свою задолженность и с квитком немедленно езжайте к судебным приставом (в тот отдел, который открыл на вас производство) . Покажите им квиток об уплате, и чтобы они вас сразу же удалили из этой базы. Это действительно надо сделать самому, т. к. автоматически это произойдёт не раньше, чем через месяц - вы уже поедите не имея долгов, но по-прежнему будете в базе данных у пограничников.
ПС: На практике проблемы с невыездом за рубеж имеют те, кто имеет задолженность более 1 млн руб. Хотя теоретически такие проблемы могут появиться и у тех, кто должен хотя бы 1 руб.

госналог

в интернете можно попробовать, но там не гарантировано, всё рано надо съездить в гибдд и налоговую.. . сайт госуслуги, например

https://service.nalog.ru/debt/
http://www.fssprus.ru/iss/ip/

Запрет на выезд может быть ТОЛЬКО по решению суда в ходе исполнительного производства!
На сайте ФССП есть база данных исп. производств.

Зайди на сайт федеральной службы судебных приставов. Вводишь ФИО и год рождения-ответ сразу.