Нужно ли аннулировать действующий загранпаспорт?

Аннулировать не обязательно. Можно иметь два действующих паспорта.
Новый паспорт будет иметь свой срок действия (с даты его выпуска), никак не привязанный к старому.

Зависит от того, что Вы указали в анкете. Если оформляете в дополнение к уже имеющемуся, то никто старый аннулировать не будет. Если взамен действующего, то старый паспорт аннулируют, но по Вашему заявлению могут оставить его у Вас на руках.

Дата изготовления в паспорте стоит.
То есть тот день, в который его будут печатать.

Не дата окончания старого и не дата получения нового)))
Не волнуйтесь, старый аннулируют при получении и новым будете сразу пользоваться.

Если изначально подали на получение нового паспорта ВЗАМЕН старого, то сохранить старый не получится, как вам выше пишут. Даже если там есть какие-то визы, его при получении обязательно аннулируют.
Можно сохранить второй паспорт, если подать на получение нового В ДОПОЛНЕНИЕ, это должно быть отмечено в вашей анкете в день подачи документов. Вторым паспортом в дополнение может быть только паспорт нового образца на 10 лет, а с их выдачей сейчас проблемы, заявки не принимают.

У меня остался и старый, и новый с датой ЗА 3 недели до окончания нового паспорта.(январь 2023)

Действующий паспорт аннулировать не обязательно, особенно в том случае, если там есть дей твующая виза. Новый паспорт будет действовать со дня его оформления.

На память оставь