Имеют ли право мне не пустить в отпуск, если заявление "застрянет" на столе у нач управления?

Ежегодные отпуска предоставляются в соответствии с утвержденным графиком отпусков. График отпусков составляется и доводится до сведения работников минимум за 2 недели до наступления нового календарного года. Если вы по данному графику в отпуск идете в другое время, то и пойдете гулять в это время. Если нет резолюции на вашем заявлении того руководителя, который уполномочен издавать приказы, то и приказ не будет написан (виновен будет тот человек, который вовремя не подал заявление на подпись - видимо это ваш непосредственный начальник) Напомните ему об этом и разъясните ситуацию с вашей поездкой, визой и т. д. Возможно он заработался и забыл. Напоминайте чаще о себе, потому как если вы не напомните, то никто не напомнит.

Можно просто написать, что, мол, прошу меня считать в отпуске согласно утвержденному графику с такого-то числа, и все, но без подписанного приказа Вам задержат отпускные.

Конечно, не нужно пускать это дело на самотек. Теребите отдел кадров. У вас на руках имеется турпутевка, так что отказать не имеют права. Тем более если Ваш непосредственный начальник заявление подписал, значит производственной необхдимости оставить Вас на работе нет. В противном случае Вам бы сразу отказали.
Так что напоминайте себе почаще. Вы сами знаете, что нужно еще сделать приказ, а отпускные выдаются на основании приказа, а не заявления. Удачи!

Желательно иметь на руках копию заявления с датой его регистрации секретарём или с подписью иного ответственного лица. Иначе сложно будет доказать, что Вы его писали вообще. Ну, и напомнить о себе лишним не будет, конечно.