правда ли что трудовой договор не имеет силы, если нет записи в трудовой книжке?

Не совсем так.
На основании заключенного трудового договора работодатель обязан издать приказ о зачислении в штат (3 дня с момента подписания договора) - ст 68 ТК РФ и сделать запись в трудовую (5 дней с момента начала работы) - ст 66 ТК РФ.
Если трудовой договор есть, то запись обязаны внести на работе. Не внесли - это нарушение с их стороны.
Зарплату обязаны выплатить в последний день работы (ст 84.1 ТК РФ)
Трудовая инспекция смотрит на нарушения со стороны работодателя. Факт нарушения на лицо. Должна последовать проверка и выяснение конкретного случая. Потом материалы передаются в суд.

Вам нужно обратиться с суд самостоятельно.
Перед этим Вам нужно собрать какие-то доказательства.
Трудовой договор у вас есть. Там прописана сумма зарплаты и то, что форма договора - трудовой договор.
Доказательство того, что Вы требовали выплатить зарплату:
Нужно написать заказное письмо в 2-х экземплярах (второй у вас) с требованием немедленно выплатить зарплату (ст 80 ТК РФ) и выдать справку 2НДФЛ (ст 62 ТК РФ) . Если откажут, что это будет аргументом в суде.

Далее - исковое заявление в суд + копии трудового договора и заявления с требованием выплаты зп.
Заявление в свободной форме. Я работал в организации-ответчике с ...по.. .
При увольнении мне остались должны ...
Прошу:
Взыскать с ответчика заработную плату в размере.. .
Обязать ответчика сделать в моей трудовой книжке запись об приеме на работу и увольнении.

Трудовой договор:
Если это трудовой договор, там есть печати и подписи, там есть оклад + обязанности, то это весомый аргумент. И в трудовой инспекции не могут просто так послать. Напишите письменно заявление и зарегистрируйте его у них. Иначе просто не хотят тратить время и посылают Вас.

Неправда. Трудовой договор - солидный документ.

правда

фактическое выполнение работы явл. основанием для выплаты з\ платы.

Подождите, а может вы подписали трудовой договор, а сами на работу не вышли???? Поэтому вас в трудовой инспекции и просылают в суд, чтобы вы привели свидетелей и доказали, что фактически исполняли свои обязанности, прописанные в трудовом договоре, на это составлен табель и начислена ЗП,

Если трудовой договор на руках, что ещё нужно. Не вписали в трудовую, так этот вопрос к кадровику, почему от так сделал. Если в трудовой инспекции посмотрели ваши документы, и посоветовали идти в суд, то смело идите. Еще не проходите мимо прокуратуры, забегите туда, напишите там тоже заявление.