Можно ли отправить заявление на отпуск директору заказным письмом, если он отказывается подписывать его?

обратитесь к руководителюс письменным заявлением о предоставлении отпуска такой-то продолжительности с такой-то даты. Заблаговременно снимите ксерокопию с заявления и, подавая заявление, поставьте подпись вашего руководителя с датой на копии, и оставьте ее у себя. Таким образом у вас будет подтверждение, что вы обращались с заявлением и у вас его приняли (бывают ситуации, когда заявление летит в корзину, а работнику потом говорят: вы нам никаких заявлений не подавали и вообще впервые вас видим) . Если начальник отказывает в предоставлении отпуска - пусть отказывает письменно, поставив визу с отказом на заявлении и вернув его вам. Если же он просто отказывается принимать заявление - зайдите к нему со свидетелем - кем-то из ваших коллег, Практика показывает, что после такой беседы работник беспрепятственно уходит в отпуск. Нарушать закон для руководителя - себе дороже.

Согласно ст. 122 ТК РФ ежегодный отпуск предоставляется работникам на основании графика отпусков и изданного в соответствии с ним приказа руководителя. При наличии таких документов писать заявление необязательно. Однако существуют исключения для следующих случаев:
- в графике обозначен только месяц, в котором работник уходит в отпуск. В этой ситуации сотруднику необходимо написать в заявлении точную дату начала своего отпуска;
- работник уходит в отпуск не по графику. При согласовании с администрацией организации на основании данного заявления должен быть изменен график отпусков.

Кроме этого, Трудовой кодекс обязывает писать заявление тех сотрудников, которые имеют право на отпуск до истечения 6 месяцев непрерывной работы.
Сочувствую Вам, но если не будет приказа на Ваш отпуск, то уйти Вы не можете, надо будет идти на конфликт с руководством.