Если я напишу заявление об увольнении, указав причину по уходу за ребенком до 14 лет, я имею право не отрабатывать 14дней

Ст 80 ТК.
Нет понятия "отработка". Вы должны предупредить работодателя за 2 недели. А вот в отпуске Вы, работаете или на больничном уже всё равно.
Предупреждайте - пишите заявление, и если, какие проблемы с ребёнком - идите на больничный. На детей, тем более сейчас полно простудных заболеваний, больничный легко получить.

Не имеешь.
Об увольнении предупреждают МИНИМУМ за 2 недели или, в случае испытательного срока, за 3 дня.

Но можешь попытаться договориться о более срочном "пинке под зад" с начальством.

В действующем Трудовом кодексе РФ нет такого основания. В данном случае увольнение производится по собственному желанию (п. 3 ч. 1 ст. 77 ТК РФ) .
Постановлением Минтруда России от 10.10.2003 N 69 утверждена Инструкция по заполнению трудовых книжек. В п. 5.6 указанной Инструкции установлено, что при расторжении трудового договора по инициативе работника по причинам, с которыми законодательство связывает предоставление определенных льгот и преимуществ, запись об увольнении (прекращении трудового договора) вносится в трудовую книжку с указанием этих причин. Например:
"Уволена по собственному желанию в связи с переводом мужа на работу в другую местность, п. 3 ст. 77 Трудового кодекса Российской Федерации"
или
"Уволена по собственному желанию в связи с необходимостью осуществления ухода за ребенком в возрасте до 14 лет, п. 3 чю1 ст. 77 Трудового кодекса Российской Федерации".

нет.... придется отработать...

не имеете...