Существует ещё закон о том, что если написал заявление на увольнение, нужно отрабатывать 2 недели?

нет, существует закон, что нужно предупреждать за 2 недели до увольнения

Закон предусматривает, что Вы должны предупредить о своём увольнении за 2 недели. А вот отрабатывать 14 дней, или нет - это на усмотрение руководителя (тот же Закон, ст. 80 ТЗ РФ)...

А КЗОТ еще никто не отменял. Есть определенные категории граждан, которым отрабатывать надо или 3 дня или вообще не отрабатывать, это или матери, имеющие маленьких детей или если человек на испытательном сроке и еще что-то там есть. Посмотрите КЗОТ

статья 80 ТК РФ. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении. В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора. По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет. Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.

Еще да. Но можно договориться. Мне с прошлой работы задним числом заяву подписали.

Не нужно, а на усмотрение работодателя. Якобы чтобы за это время нашли тебе замену.

пишите заявление и берите больничный.