Меня несправедливо переводят на другую должность, необоснованно? Могу ли я взыскать с начальника моральный ущерб?

Это случилось из-за того, что вы в части "личных поручений" слишком далеко забрели. Если бы вы в первый же день работы или дачи личного поручения начальника вежливо дали бы ему понять, что это не входит в ваши трудовые обязанности, наверняка он не "привязался" бы к вам. А вы, видимо, решили во всём ублажать его, надеясь на его расположение. Он к этому уже привык. А теперь вы вдруг подняли "бунт" Естественно, это для него непонятно - вот и начались гонения. Непонятно, какие там у вас интриги, но что спокойно вам работать не дадут - это уж точно. И Закон здесь - не помощник, ведь именно его начальник может обернуть против вас - повод найти несложно. Так что лучше уходите в другой отдел и впредь не повторяйте прошлой ошибки.

Не можешь.
И почему несправедливо и необоснованно, если ты, например, не справляешься с обязанностями? Или тебе положен более легкий труд? Или что там у вас?

Вообще недурно в таких случаях, задавая вопрос, обозначить вашу должность, что б хоть было понятно о какой работе мы говорим. А так, идите в инспекцию по труду, получайте с них заключение и в суд, отстаивать свои права.

Хочется сказать, что надо же было додуматься отказаться ходить в магазин и кормить животных, ведь не интим услуги, и работа любимая.. . Но, естественно, по трудовому договору это не входит в ваши обязанности.
Перевести без вашего письменного согласия никуда не могут. Если нравится работать - работайте.
Моральный ущерб? Обратитесь в суд и постарайтесь его выиграть.