при увольнении с работы, бухгалтерия насчитала, что остается долг перед фирмой, можно ли его не выплачивать?

Судя по всему, факт долга перед работодателем вскрылся тогда, когда вместе с выдачей ТР/КН вам произвели окончательный расчет. В этом случае расчетные деньги идут на погашение долга - за неотработанные дни отпуска, полученного авансом (т.е на руки вы ничего не получите и это закономерно, абзац четвертый части второй ст. 137 ТК РФ). Если же расчетных денег оказалось недостаточно, то работодатель может ПОПРОСИТЬ внести их добровольно. Ну, а в случае вашего отказа в действие вступит уже не Трудовой, а Гражданский кодекс РФ (именно поэтому о взыскании через суд в ТК РФ нет ни слова, ответ Ольги). Лицо, право которого нарушено, может требовать полного возмещения убытков (ст. 15 ГК РФ). А вы как раз и нарушили право работодателя - получили деньги, не отработав за них.

Пусть подают в суд. Ничего возвращать вы не обязаны.

это у вас есть право подать в суд за задержку работодателем вашей трудовой книжки и затребовать компенсацию за вынужденный прогул.
за излишне выплаченные отпускные за отпуск "авансом" имеют право удержать при расчет (ст. 137 ТК РФ) , но о том, чтобы требовать внесения долга в кассу или о взыскании через суд в ТК РФ нет ни слова. работодатель нарушает трудовое законодательство. пишите жалобу в трудовую инспекцию.

а предупреждать об отпуске "авансом" работодатель не обязан. отпуск "авансом" - это обычная практика. очередной отпуск предоставляется в течение рабочего года, а не по его окончании, так что в любом случае, если вы отпуск 28 к. д. отгуливаете, но год не дорабатываете, то отпуск будет "авансом".

Это зависит "чёрная" или "белая" зарплата.
Если "белая" - то вернуть придётся, это связано с пенсионными отчислениями.
Ну а если "чёрная" - то у ваших работадателей мало шансов что-то доказать.