Имел и право работодатель, выдать половину зарплаты только за то, что мать грубо кому-то ответила? Это вообще законно?

Части зарплаты по закону человека могут лишить лишь в том случае, если он это время реально не работал, например, взял отпуск за свой счет. Премии могут лишить в том случае, если человек допустил нарушение, оно зафиксировано официально и по этому случаю издан приказ. Все остальные случаи являются самоуправством. Но если твоя мать получает зарплату без оформления, то руководитель может любой беспредел устраивать.
Есть и в этом случае вариант: твоя мать идет в прокуратуру и пишет заявление, что она работает там-то, столько-то времени и ей платят такие-то деньги. И просит в этом заявлении обязать ее работодателя принять ее на работу официально, а также вернуть ей незаконно не выплаченные деньги за такой-то период в таком-то размере. Ее хозяину придется взять ее на работу и все вернуть, правда, потом он может попытаться ее выжить. Но, зная, что твоя мать может снова пойти в прокуратуру, он не сможет это сделать без достаточного повода.

Не законно, но директор уверен, что мать не сможет обратиться к юристу и прикарманил часть зарплаты

Это не законно, если оформленна официально и зарплата белая. Обязанны при выработке месячной нормы заплатить сумму указанную в ТД. Но имейте в виду если оклад получила, а не начислили премию, то это законно, если премия не является обязательной составной частью зарплаты. Заявление в ГИТ и прокуратуру.
При остальных ситуациях всё вне правового поля.

Нет незаконно. Однако если это серая зарплата, то просто не сможешь доказать реальный уровень зарплаты. Если он из "официальной" вычел, то обращайся в инспекцию по труду или в суд

А мать также устроена на работу? Или она пришла к тебе на работу и возникли неполадки в отношениях между ней и клиентом/сотрудником/роботодателем?
Все, конечно, зависит от того, где работаешь. Если пришла в гости и разжёгся конфликт - можно трактовать её монолог как оценка обслуживания с пожеланиями.

Любой владелец не хочет терять клиентов из-за хамства сотрудников. 1 клиент может за год принести 50 000 чистой прибыли, к примеру. Так что если нахамили такому клиенту и он больше не вернется. То наказали еще по божески.. . Но это теория.

В целом, я не поддерживаю такую ситуацию. Я бы сделал строгое предупреждение. Но не лишал зарплаты.

Отвечая на вопрос: это правомерно, если она подписала договор, в котором указан размер штрафа за грубое обращение с клиентом. Но и в этом случае все обтекаемо. Как трактовать.