Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?

А вот это не аргумент. В геометрии можно доказать и опровергнуть. А вы что то утверждаете.

Ну это вопрос ученых. Если честно на досуге попробую поковыряться с задачкой. Но лично из моих ощущений в треугольниках все не просто

Я хочу попробовать прогнать это на C#. Может что и выйдет.

собираетесь перебирать все возможные целые длины сторон? Это же бесконечность

У всех языков программирования есть ограничения. Но если жахнуть цикл, может найдется что то.

Существует ли треугольник с целочисленнымисторонами, медианами и площадью?Решение дилеммы предполагает определения общих явных формул, генерирующих треугольники Герона и существования у них трёх целочисленных медиан. Сложность первой проблемы заключается в решении переопределённого диафантова уравнения Герона. Известны формулы – оглашенные общими формулами – фактически частные, полученые методами геометрии, без учёта свойств диофантова уравнений. Решение второй проблемы предполагает решения первой проблемы. Исходя из формул, одна медиана ненатуральная, при наличии одной нечётной стороны у треугольников. Поэтому необходимо исследовать чётно-подобные треугольники Герона.Решение первой проблемыТреугольники Герона – общие треугольники с целочисленными сторонами и площадью. Их свойства определяет уравнение: w^2 = p(p - x)(p - y)(p - z) = V_1 V_2 V_3 V_4 , где x,y,z- стороны, w- площадь, p- полупериметр, (V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 ) = d = 1 - значения сомножителей неоднородныого уравнения. Уравнение переопределённое: j = i > k = 3, где j - число сомножителей,i - число отличных, действительных линейных сомножителей, k - число переменных (x,y,z). Оно имеет решение, если полученные из i = k = 3 сомножителей значения переменных в остаточном сомножителе дают отвечающее одночлену число. Значение площади треугольников Герона – чётное, поэтому исследование при w = 2w_1 + 1не требуется. Запишем вариант и неявные формулы решения:p = V_1 , p - x = V_2 p - y = V_3 p - z = V_4 ,p = V_1 = {x + y + z} 2,x = V_1 - V_2 ,y = V_1 - V_3 ,z = V_1 - V_4 ,V_1 > V_2 ,V_3 ,V_4 .Проблему составляет подбор значений сомножителей: w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = V_2 + V_3 + V_4 .Тайну решения кроет общая тайна треугольников Пифагора и Герона!Решение переопределённого диофантова уравнения требует независимой, внешней информации: треугольники Герона заодно треугольники Пифагора, либо суммы, или разности двух таких треугольников. Поэтому они – подобно треугольникам Пифагора – исходят из пар натуральных чисел! Значение площади треугольников Пифагора чётное, поэтому значение площади треугольников Герона тоже чётное! Внутренняя высота треугольника однозначно делит его на два прямоугольных треугольника. Для треугольников Герона это треугольники Пифагора, или из них исходящие. Значение высоты треугольников Герона натуральное, если треугольники пифагоровы и рациональное, если из них исходящие. Существует пять видов неоднородных треугольников Герона:- элементарный треугольник Герона, Пифагора: $\[x_1 ,y_1 ,z_1 ,\left( {x_{2j} ,y_{2j} ,z_{2j} } \right),\left( {x_{2i} ,y_i ,z_{2i} } \right),\]$- сумма треугольников с общим чётным катетом: $\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = y_1 + y_{2j} ,\]$- разность треугольников с общим чётным катетом:$\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = |y_1 - y_{2j} |,\]$ - сумма треугольников с общим нечётным катетом: $\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = x_1 + x_{2i} ,\]$- разность треугольников с общим нечётным катетом:$\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = |x_1 - x_{2i} |.\]$Рисунок (http://www.szijjartosandor.hu, страница 252):Определение исходных треугольников.Исходные треугольники генерирует уравнение Пифагора:$\[x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 ,x_1 = 2U_1 U_2 ,y_1 = U_2^2 - U_1^2 ,z_1 = U_2^2 + U_1^2 ,\]$ где $ \[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N.\]$ Набор треугольников Пифагора одноразовый и бесконечный.Определение дополнительных треугольников, исходящих из чётного rатетаТреугольники генерирует уравнение Пифагора при $\[\Psi _{2j} > \Psi _{1j} ,(\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} ) = d \geqslant 1,\]$где $ \[k_j ,\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} - \]$ тройки чисел, получаемые факторизацией $\[U_1^2 U_2^2 :\]$$\[U_1 U_2 = \sqrt {U_1^2 U_2^2 } = k_1 \sqrt {\Psi _{11} \Psi _{21} } = \cdot \cdot \cdot = k_{j - 1} \sqrt {\Psi _{1j - 1} \Psi _{2j - 1} } = k_j \sqrt {\Psi _{1j} \Psi _{2j} } ,\]$ где $\[j - \]$ порядковый номер тройки, $ \[k_j - \]$ коэффициент подобия треугольников, $\[\sqrt {\Psi _{1j} } ,\sqrt {\Psi _{2j} } - \]$ натуральные или иррациональные пары.Определение дополнительных треугольников:$\[x_{2j} = 2k_j \Psi _{1j} \Psi _{2j} = x_1 = 2U_1 U_2 ,y_{2j} = k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 ),z_{2j} = k_j (\Psi _{2j}^2 + \Psi _{1j}^2 )\]$Число дополнительных треугольников $\[j\]$определяется значением $\[U_1^2 U_2^2 .\]$ Определение сложных треугольников Герона, исходящих из чётного катета.Треугольники получаем сложением и вычитанием компонентных треугольников:$\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = |y_1 \pm y_{2j} |,\]$ $\[x = U_2^2 + U_1^2 ,y = k_j (\Psi _{2j}^2 + \Psi _{1j}^2 ),z = |U_2^2 - U_1^2 \pm k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 )|,\]$ где $\[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N\]$ – пары чисел, $\[\Psi _{2j} > \Psi _{1j} ,(\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} ) = d \geqslant 1,k_j - \]$ исходящие из $\[U_1^2 U_2^2 \]$ тройки.Подстановкой значений неизвестных в исходные формулы, получаем:$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \left( {x + y + z} \right)/2,V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$$\[w = |x_1 y_1 \pm x_{2j} y_{2j} |/2 = U_1 U_2 \left[ {|U_2^2 - U_1^2 \pm k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 )|} \right]\]$Определение дополнительных треугольников, исходящих из нечётного катетаТреугольники генерирует уравнение Пифагора при $\[Q_{2i} > Q_{1i} ,(Q_{1i} ,Q_{2i} ) = d \geqslant 1,\]$ где $\[k_i ,Q_{1i} Q_{2i} - \]$ тройка чисел, получаемая факторизацией $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 = Q^2 :\]$ $\[Q = \sqrt {(U_2^2 - U_1^2 )^2 } = k_1 \sqrt {Q_{11} Q_{21} } = \cdot \cdot \cdot = k_{i - 1} \sqrt {Q_{1i - 1} Q_{2i - 1} } = k_i \sqrt {Q_{1i} Q_{2i} } ,\]$где $\[i - \]$ порядковый номер тройки, $\[k_i - \]$ коэффициент подобия треугольников, $\[\sqrt {Q_{1i} } ,\sqrt {Q_{2i} } - \]$ натуральные или иррациональные пары.Определение дополнительных треугольников:$\[x_{2i} = k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )/2,y_1 = y_{2i} = k_i Q_{1i} Q_{2i} ,z_{2i} = k_i (Q_{2i}^2 + Q_{1i}^2 )/2\]$ Число дополнительных треугольников $\[i\]$ определяется значением $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 .\]$Определение сложных треугольников Герона, исходящих из нечётного катета:Треугольники получаем сложением и вычитанием компонентных треугольников:$\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = |x_1 \pm x_{2i} |,\]$ $\[x = U_2^2 + U_1^2 ,y = \frac{{k_i Q_{2i}^2 + Q_{1i}^2 }}{2},z = \frac{{|4U_1 U_2 \pm k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )|}}{2},\]$где $\[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N\]$ пары чисел, $\[Q_{2i} > Q_{1i} ,(Q_{1i} ,Q_{2i} ) = d \geqslant 1,k_i - \]$ исходящие из $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 \]$ тройки.Подстановкой значений неизвестных в исходные формулы, получаем:$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \left( {x + y + z} \right)/2,V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$$\[w = |x_1 y_1 \pm x_{2i} y_{2i} |/2 = (U_2^2 - U_1^2 )|4U_1 U_2 \pm k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )|/4.\]$ Треугольники Пифагора генерируют множество треугольников Герона!Число треугольников Герона, исходящих из пары $\[U_1 ,U_2 :\]$ $\[\Sigma = 3(j + i - 1),\]$ где$\[j + i - 1 - \]$ число элементарных треугольников Герона,$\[2j + 2i - 2 -\]$ число сложных треугольников Герона, $\[\Sigma - \]$ сумма треугольников Герона,$\[j - \]$ исходящие из чётного катета треугольники, $\[i - \]$ исходящие из нечётного катета треугольники,$\[ - 2 - \]$ случай равенства компонентных треугольников,$\[ - 1 -\]$ исходный треугольник Пифагора./:Например, при значениях $\[U_1 = 15,U_2 = 28\]$имеем: $\[\Sigma = 3(j + i - 1) = 3(276 + 6 - 1) = 843\] $:/Предположим, что существуют и иные треугольники Герона. Эта возможность исключается однозначным разложением треугольников их внутренней высотой на два компонентных прямоугольных треугольника, исходящих из треугольника Пифагора, рассмотренным образом! Определение однородных треугольников Герона:Однородные треугольники исходят из неоднородных треугольников, или получаемы при $$(V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 ) = d \geqslant 2$$ и могут быть кратными.Решение второй проблемы.Негативное решение требует доказательства существования одной ненатуральной медианы в чётно-однородных треугольниках Герона. Запишем формулы медиан:$$m_x = \frac{{\sqrt {2(y^2 + z^2 ) - x^2 } }}{2},m_y = \frac{{\sqrt {2(x^2 + z^2 ) - y^2 } }}{2},m_z = \frac{{\sqrt {2(x^2 + y^2 ) - z^2 } }}{2}.$$Две стороны неоднородных треугольников Герона нечётные, одна чётная! Ибо при одной, или трёх нечётных сторонах значение площади треугольников – исходя из уравнения Герона – ненатуральное. Поэтому минимально две медианы неоднородных треугольников Герона дробные! Следовательно, необходимо исследовать чётно-однородные треугольники. Сокращение сторон однородных треугольников на нечётные делители на чётность сторон не влияет. А сокращение на наибольший чётный делитель приводит к неоднородному треугольнику с двумя нечётными и одной чётной стороной. Исследование медиан элементарных чётно-однородных треугольников Герона:Запишешем систему из двух уравнений. Первое – уравнение исходного чётно-однородного треугольника, второе – уравнение прямоугольного треугольника, исходящего из катетов и медианы исходного треугольника:$$\left\{ \begin{gathered} x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 \hfill \\ x_1^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{y_1 }}{2}} \right)^2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$$Медиана натуральная, если система имеет нетривиальное натуральное решение:$$x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 = \left( {z_1 - y_1 } \right)\left( {z_1 + y_1 } \right) = U_1^2 U_2^2 ,$$$$\left\{ \begin{gathered} z_1 - y_1 = U_1^2 \hfill \\ z_1 + y_1 = U_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,x_1 = U_1 U_2 ,y_1 = \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2},z_1 = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2},$$ где $ $U_2 > U_1 ,U_1 ,U_2 - $$чётные числа, ибо треугольник чётно-однородный.Подставляя значения переменных во второе уравнение, имеем:$$x_1^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{y_1 }}{2}} \right)^2 ,U_1^2 U_2^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right)^2 = \left( {m_y - \frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right)\left( {m_y + \frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right),$$$$\left\{ \begin{gathered} m_y - \frac{{U_2 - U_1 }}{4} = U_1^2 \hfill \\ m_y + \frac{{U_2 - U_1 }}{4} = U_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_y = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2},\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) = 2\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right).$$Система имеет только тривиальтное решение:$$U_1 = 0,U_2 = 0.$$Исследование сложных чётно-однородных треугольников Герона:Запишешем систему из двух уравнений. Первое – уравнение дополнительного чётно-однородного треугольника, второе – уравнение прямоугольного треугольника, исходящего из катетов компонентных треугольников и медианы сложного треугольника:$$\left\{ \begin{gathered} x_2^2 = z_2^2 - y_2^2 \hfill \\ x_2^2 = m_z^2 - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$ где $$x_2 = x_1 .$$Медиана натуральная, если система имеет нетривиальное натуральное решение:$$x_2^2 = z_2^2 - y_2^2 = \left( {z_2 - y_2 } \right)\left( {z_2 + y_2 } \right) = \Psi _1^2 \Psi _2^2 ,$$$$\left\{ \begin{gathered} z_2 - y_2 = \Psi _1^2 \hfill \\ z_2 + y_2 = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,x_2 = \Psi _1 \Psi _2 ,y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},z_2 = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{2},$$ где $$\Psi _2 > \Psi _1 ,\Psi _1 ,\Psi _2 - $$чётные числа, получаемые факторизацией $$U_1^2 U_2^2 .$$Подставляя значения переменных во второе уравнение, имеем:$$x_2^2 = m_z^2 - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)^2 ,\Psi _1^2 \Psi _2^2 = \left[ {m_z - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)} \right]\left[ {m_z + \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)} \right],$$$$\left\{ \begin{gathered} m_z - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \Psi _1^2 \hfill \\ m_z + \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_z = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{2},\left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},$$$$\frac{{|y_1 \pm y_2 |}}{2} - y_1 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},\frac{{|\frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2} \pm \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2}| - 2 \cdot \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2}}}{2} = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},$$$$|\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) \pm \left( {\Psi _2^2 - \Psi _1^2 } \right)| = 2\left[ {\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) + \left( {\Psi _2^2 - \Psi _1^2 } \right)} \right].$$Система имеет только тривиальтное решение: $$U_1 = 0,U_2 = 0,\Psi _1 = 0,\Psi _2 = 0.$$Из второго уравнения при значении $$z = 2y_1 $$ получаем целочисленное значение медианы $$m_z = x_2 = x_1 $$ равноберенного чётно-однородного треугольника Герона, поэтому необхоимо определить и значения его двух равных медиан.Медианы пересекаются в одной точке и делятся на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому можем записать уравнение прямоугольного треугольника:$$\left( {\frac{{x_2 }}{3}} \right)^2 = \left( {\frac{{2m_{z2} }}{3}} \right)^2 - y_2^2 ,x_2^2 = \left( {2m_{z2} } \right)^2 - \left( {3y_2 } \right)^2 ,\Psi _1^2 \Psi _2^2 = \left( {2m_{z2} - 3y_2 } \right)\left( {2m_{z2} + 3y_2 } \right),$$$$\left\{ \begin{gathered} 2m_{z2} - 3y_2 = \Psi _1^2 \hfill \\ 2m_{z2} + 3y_2 = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_{z2} = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{4},y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{6}.$$Подставляя значения переменной, имеем:$$y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2} = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{6}.$$Уравнение имеет только тривиальтное решение: $$U_1 = 0,U_2 = 0,\Psi _1 = 0,\Psi _2 = 0.$$Итог доказательства:не существует треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью!

Копипастер - уровень: бог. Сам хоть понял про что?

Ну вот. Это неразрешенная задача. В ней нельзя ничего утверждать. Иначе решение уже давно нашли бы.

не катит, надо с медианами

тогда кажись нет не бывает

Нет, них не бывает трех совпадений этих трех параметров. Где вы видели треугольник с хотя бы целочисленной площадью и сторонами?

пожалейте геометрию, займитесь чем-то другим

Поиском магнитных монополей?

отлично! меня физика не цепляет))

Их тоже никто не может найти

пускай и дальше прячутся

Все мы знаем. Неевклидово пространство неестественно.

Нарисуете или найдете - нобелевку получите.

))))))))))))))))не умничайте)))))))))

Треугольник геометрический, если что

Так задайте,все равно не отвечу

Нету доказательств что его не может существовать на бумаге.

а нет доказательств, что может

В геометрии Лобачевского такой существовать может

ну только в его, а он мне не указ)

Вероятность даже невозможных событий не равна 0, ага.

А почему Вы думаете не смогу, потому что я блондинка?!

Нет. Дело не в этом. Конкретно это - нерешенная математическая проблема тысячелетия. Если Вы можете доказать то, что беретесь доказать - Вы должны быть как минимум более понимающим человеком чем Перельман.

Возможно во мне и скрыты таланты к математике, но до Григория Яковлевича мне далеко.

Вот. Не беритесь доказать то, что еще не доказал бородатый мужик.)

Ну, Перельману еще и пятидесяти нет, у него вся жизнь впереди, дай Бог ему здоровья и долгих лет жизни.