Правильно ли составлено предложение? В Украине начался показ 12 сезона шоу «Project Runway».

Нет. Особенно, если это задание по культуре речи.

Как правильно: на Украине или в Украине?

Литературная норма современного русского языка: на Украине, с Украины.

«В 1993 году по требованию Правительства Украины нормативными следовало признать варианты В Украину (и соответственно ИЗ Украины) . Тем самым, по мнению Правительства Украины, разрывалась не устраивающая его этимологическая связь конструкций на Украину и на окраину.

Украина как бы получала лингвистическое подтверждение своего статуса суверенного государства, поскольку названия государств, а не регионов оформляются в русской традиции с помощью предлогов В (ВО) и ИЗ... »
(Граудина Л. К. , Ицкович В. А. , Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи. М. : Наука, 2001. С. 69).

Однако литературная норма русского языка, согласно которой следует говорить и писать НА Украине, – результат исторического развития языка на протяжении нескольких столетий. Сочетаемость предлогов в и на с определенными словами объясняется исключительно традицией.
Ср. : в школе, в институте, в аптеке, в отделе, но: на заводе, на почте, на курорте, на складе и т. д. Литературная норма не может измениться в одночасье из-за каких-либо политических процессов.

После числительного 12 нужно наращение -го:

На Украине начался показ 12-го сезона шоу «Project Runway».

(Иногда названия, написанные латиницей, кавычками не выделяют)

Нужно исправить две ошибки: по-русски следует говорить и писать "На Украине", а правила наращения при порядковых числительных требуют "показ 12-го шоу". Остальное верно: англоязычные названия не традиционных (редких) в русском языке слов и словосочетаний следует давать на языке оригинала. Так, кстати, далали и до 1917 г.

Не понял насчёт "языка оригинала" - а если язык оригинала португальский, или ещё более того - суахили? С "на языке оригинала" вышел перебор. Наверное, надо было сказать - если язык оригинала английский (поскольку он самый распространённый в мире) - то чёрт с ним, пусть на английском. А вот если венгерский или индонезийский - то извините, придётся-таки давать русскую транслитерацию.

можно уточнить - телешоу.
Можно перевести "Project Runway" - "Проект "Подиум"".

Неправильно.
По нормам русского языка принято писать "На Украине" (что там считают сами украинцы - их внутреннее дело).