Может ли сам кадровик внести запись об увольнении по собственному желанию себе в трудовую книжку сам?

Может. Только подпись лучше директора поставить.

Согласно п. 35 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей"): "При увольнении работника (прекращении трудового договора) все записи, внесенные в его трудовую книжку за время работы у данного работодателя, заверяются подписью работодателя или лица, ответственного за ведение трудовых книжек, печатью работодателя... ". Так что расписывается и заверяет тот, кто является ответственный за ведение, если инспектор по кадрам, то именно он и заверяет, тем более, что день увольнения его все еще рабочий день.

А почему нет? День увольнения - это последний день работы!
Я даже вкладыш сама себе выдавала.

согласна с Олесей Корнаковой; совет из опыта - лучше заверить такую запись руководителем учреждения.