Могу я проживать в квартире, в собственности матери, если я прописана по другому адресу, может ТСЖ мне выразить претензии

ТСЖ может высказать претензии на предмет того, что вы живёте и не платите за воду, например, вывоз мусора, лифт, содержание дома..

Прямые родственники с пропиской в этом же городе могут проживать без проблем.

Можете, ну что вам мешает исполнить гражданский долг и сделать временную регистрацию?

Вам нет, а вот если у вас в квартире не установлены приборы учета, то просто увеличат ком. платежи.

Можете. Но и платить за коммуналку должны соответственно больше (если в квартире нет счётчиков)

Как член семьи - можете... Но ТСЖ может обязать вас временно зарегистрироваться, чтобы вы в т. ч. платили за коммуналку в полном объеме.... Закон об Обязательной регистации как раз на это и направлен... Потребляешь воду, газ и пр. - плати!!!!

Со счетчиками проблем меньше.

Конечно может.
Еще ТСЖ может высказать претензии Путену, какого хрена он на третий срок полез.
Еще может высказать претензии Луне, какого хрена она вокруг Земли вращается.
Солнцу, какого хрена оно на востоке всходит.

Я это к тому, что вы можете ложить с прибором на все претензии, вы тут так, периодически в гостях бываете, пыль протереть, не более того.