Можно ли заявление на увольнение написать и подписать за мужа7

При наличии нотариальной доверенности оговаривающей это действие - можно.

нельзя.
Но если между Вами и мужем есть доверенность, заверенная Нотариусом, о том, что Вы можете осуществлять такие полномочия, то можете.

генеральная доверенность дает право на все действия от имени мужа ( но нотариальные действия дороги) - но в век передовых технологий что нельзя сканированное эл. письмо послать или глушь полная?