могут ли уволить по недоверию

Такое основание, как увольнение в связи с утратой доверия к работнику со стороны работодателя ЕСТЬ. И предусмотрено оно п. 7 статьи 81 ТК РФ. С такой формулировкой возможно увольнение, но только в следующих случаях:
- в отношении работников, непосредственно обслуживающих денежные или товарные ценности (прием, хранение, транспортировка, распределение и т. п.) ;
- при совершении работниками таких виновных действий, которые дали работодателю основание для утраты доверия к ним (п. 45 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004 N 2).
Стоит отметить, что "утрата доверия" - оценочное понятие. Отсутствие у работодателя доказательств совершения работником указанных действий влечет признание увольнения по п. 7 ч. 1 ст. 81 ТК РФ незаконным. Если работник совершил виновные действия и работодателем был соблюден порядок применения дисциплинарного взыскания в виде увольнения (проведено расследование, инвентаризация, у работника запрошено объяснение, взыскание применено в предусмотренный законом срок) , расторжение трудового договора скорее всего признается правомерным .
При установлении в предусмотренном законом порядке факта хищения, взяточничества и иных корыстных правонарушений работники могут быть уволены в связи с утратой к ним доверия и в том случае, когда указанные действия не связаны с их работой.
Конкретного перечня обстоятельств, которые могут рассматриваться работодателем как основания для утраты доверия к работнику нет. Поэтому увольнять с такой формулировкой скорее его право, которым он может распорядиться по своему усмотрению. Он может все лишь ограничиться выговором или замечанием либо вообще не применять взыскание к работнику.
статья